1965 m. baigė Kapsuko (dabar – Marijampolė) 2-ąją vidurinę mokyklą. 1965–1972 m. studijavo Kauno medicinos institute, įgijo bendrosios praktikos gydytojo išsilavinimą.

1972–1987 m. R. Žekas gyveno ir dirbo Anykščiuose.

1972–1974 m. jis buvo Anykščių rajono centrinės ligoninės apylinkės gydytojas, 1974–1987 m. – šios ligoninės Vaikų ligų skyriaus ir poliklinikos vedėjas.

Nuo 1987 m. iki šiol R. Žekas gyvena ir dirba Kaune.

1987–1997 m. jis buvo Kauno rajono centrinės ligoninės vyriausiasis gydytojas. 1992 m. jis baigė studijas Vadybos akademijoje, įgijo vadybininko išsilavinimą.

1997–2005 m. R. Žekas buvo Kauno rajono savivaldybės gydytojas, pirmasis tokias naujai įsteigtas pareigas Kauno rajone pradėjęs eiti sveikatos priežiūros veiklų organizatorius.

1998–2005 m. jis buvo Lietuvos nacionalinės sveikatos tarybos prie Lietuvos Respublikos Seimo narys. Jis taip pat buvo Lietuvos savivaldybių asociacijos sveikatos ir socialinių reikalų komiteto pirmininkas, Kauno rajono bendruomenės sveikatos tarybos pirmininkas.

2005–2011 m. R. Žekas dirbo Lietuvos nacionalinės sveikatos tarybos prie Lietuvos Respublikos Seimo sekretoriato vadovu.

2011 m. grįžęs dirbti į Kauną, 2011–2017 m. jis vėl buvo Kauno rajono savivaldybės gydytojas, kol 2017 m. pradžioje išėjo į pensiją.

Nuo 2017 m. iki šiol R. Žekas yra Kauno rajono savivaldybės mero visuomeninis patarėjas.

R. Žekas buvo Sveikatą stiprinančio Kauno regiono koordinacinės grupės pirmininkas (2013–2017 m.), Lietuvos kūno kultūros akademijos (dabar – Lietuvos sporto universitetas) Biomedicinos fakulteto tarybos narys, Vytauto Didžiojo universiteto Socialinių mokslų fakulteto sveikatos psichologijos magistro studijų tarybos narys.

Sveikatos priežiūros sistemos administravimo patirties jis sėmėsi Švedijoje, Danijoje, Suomijoje, Olandijoje, Šveicarijoje, Ispanijoje, Kanadoje, ją pritaikydamas Kauno rajone.

Lietuvos centro sąjungos sąraše R. Žekas buvo išrinktas Kauno rajono savivaldybės 2000–2003 m. kadencijos tarybos nariu, bet 2000 m. atsisakė mandato dėl užimamų pareigų savivaldybėje.

Nuo 2021 m. jis yra Nacionalinio susivienijimo partijos narys, šios partijos Sveikatos reikalų komiteto pirmininkas.

R. Žekas 2023 m. dalyvavo Kauno miesto savivaldybės 2023–2027 m. kadencijos tarybos rinkimuose kaip Nacionalinio susivienijimo partijos sąrašo kandidatas, bet šis sąrašas į Tarybą nepateko.

Už ilgametį darbą sveikatos priežiūros sistemoje ir sveikos gyvensenos propagavimą R. Žekas apdovanotas Kauno rajono savivaldybės pirmojo lygio Garbės ženklu (2015 m.).

Laisvalaikį skiria turizmui, mėgsta simfoninę muziką, skaito knygas.

Vedęs, žmona Laimutė Žekienė (g. 1947 m.) – gydytoja oftalmologė. Sūnūs: Egidijus Žekas (g. 1972 m.) – medicinos vadybininkas, Saulius Žekas (g. 1977 m.), Simonas Žekas (g. 1981 m.).