Tėvai: Aloyzas Morkvėnas ir Regina Morkvėnienė (1948–2020) – medikė.

Augo ir mokėsi Geidžiūnuose. Tėvams persikėlus, nuo 1989 m. užaugo Biržuose, 1989–1995 m. baigė Biržų "Aušros" vidurinę mokyklą (dabar – Biržų Aušros pagrindinė mokykla). 1995–1999 m. baigė turizmo vadybos studijas.

1999–2005 m. studijavo Vilniaus Šv. Juozapo kunigų seminarijoje, baigė studijas teologijos magistro laipsniu. Studijų laikotarpiu tarnavo diakonu Anykščių parapijoje.

2005 m. gruodžio 4 d. jis buvo įšventintas kunigu. Pirmąsias Šv. Mišias jis aukojo Biržų Šv. Jono Krikštytojo bažnyčioje.

2005–2007 m. J. Morkvėnas buvo Anykščių Šv. Mato parapijos vikaras. Jis buvo ir Ateitininkų Anykščių kuopos globėjas, aktyviai dalyvavo parapijos kultūrinėje veikloje, pats vaidino kalėdiniame spektaklyje bažnyčioje "Kalėdinės metamorfozės" (2006 m.).

2007–2012 m. J. Morkvėnas buvo Panevėžio Šv. apaštalų Petro ir Povilo parapijos vikaras. Jis skatino šios parapijos kultūrinę veiklą, rengė parodas ir dailės užsiėmimus vaikams ir jaunimui. Jis buvo vienas iš Lietuvos jaunimo dienų Panevėžyje (2010 m.) organizatorių.

Paskirtas 2012 m. liepos 16 d., 2012–2020 m. J. Morkvėnas buvo Karsakiškio (Panevėžio r.) Nukryžiuotojo Jėzaus parapijos administratorius. Kartu jis administravo ir Geležių (Panevėžio r.) Šv. Juozapo parapiją, aptarnavo tikinčiuosius Bigailių, Bikiškių, Naujikų, Palaukių ir Sodelių koplyčiose, buvo Lietuvos aklųjų ir silpnaregių sąjungos Panevėžio miesto ir rajono skyriaus bendruomenės kapelionas.

Perkeltas 2020 m. liepą, nuo 2020 m. jis yra Biržų Šv. Jono Krikštytojo parapijos klebonas,  Nemunėlio Radviliškio Švč. Mergelės Marijos bei Suosto Šv. Kryžiaus Išaukštinimo parapijų administratorius, laikinai eina  Biržų  dekanato dekano pareigas.

Jis yra Panevėžio vyskupijos kunigų tarybos narys konsultorius (nuo 2016 m.).

Laisvalaikiu mėgsta keliauti gamtoje ar į kalnus, pabūti vienas.