1930 m. baigė Ukmergės gimnaziją.

1931 m. rugsėjo 15 d. A. Kapočius buvo pašauktas į tarnybą Lietuvos kariuomenėje ir paskirtas į 1 pėstininkų pulką. Jis buvo pasiųstas mokytis į Karo mokyklą Kaune ir 1932 m. rugsėjo 15 d. ją baigė VII aspirantų laidoje, jam buvo suteiktas ryšių atsargos jaunesniojo leitenanto karinis laipsnis, iškart buvo išleistas į inžinerijos karininkų atsargą.

1932–1936 m. A. Kapočius studijavo Kauno Vytauto Didžiojo universiteto Teisių fakulteto Ekonomikos skyriuje, įgijo ekonomisto išsilavinimą.

1938 m. lapkričio 9 d. dėl sveikatos jis buvo išleistas į dimisiją.

Iki 1940 m. vasaros – pirmosios sovietinės okupacijos ir 1941–1944 m. A. Kapočius dirbo bendrovės "Lietūkis" direktoriaus pavaduotoju.

1947 m. liepos 30 d. jis buvo suimtas, kalintas Vilniuje. 1947 m. lapkričio 15 d. SSRS NKVD Ypatingasis pasitarimas jį nuteisė 5 metams lagerio. Išvežtas į Rusiją, nuo 1948 m. vasario 14 d. A. Kapočius buvo kalinamas Jarceve (Konošos r., Archangelsko sritis, Rusija).

Paleistas į laisvę ir į Lietuvą grįžęs 1952 m., A. Kapočius gyveno ir dirbo Vilniuje, buvo Statybos tresto skyriaus viršininkas.

Buvo vedęs, žmona Vladislava Songailaitė-Kapočiuvenė (1915–2009). Sūnus Vidmantas Povilas Kapočius (g. 1943 m.) – mokslininkas chemikas.

Mirė 1985 m. rugsėjo 11 d. Vilniuje. Palaidotas Vilniaus Rokantiškių kapinėse (30 sektorius, 6 eilė, 6 kapas). Kapą ženklina rausvo granito paminklas-stela su iškaltu įrašu: "Kapočiai / Antanas 1910–1985 / Vlada 1915–2009".