1930 m. baigė Panevėžio gimnaziją.

1930 m. lapkričio 4 d. A. Kutka buvo pašauktas į tarnybą Lietuvos kariuomenėje ir paskirtas į 5-ąjį Lietuvos Didžiojo kunigaikščio Kęstučio pulką. 1931 m. spalio 29 d. jis baigė Karo mokyklą Kaune VI aspirantų laidoje, jam buvo suteiktas atsargos jaunesniojo leitenanto laipsnis, jis iškart buvo paleistas į pėstininkų karininkų atsargą.

1933–1934 m. A. Kutka dirbo Kauno sunkiųjų darbų kalėjime valdininku, paskui 1934–1940 m. buvo Finansų ministerijos akcizo kontrolierius.

1936 m. jis baigė Kauno Vytauto Didžiojo universiteto Teisių fakulteto Teisių skyrių, įgijo teisininko išsilavinimą.

1938 m. rudenį jis buvo mobilizuotas mokymams ir mėnesį atliko karines pratybas 2-ajame Lietuvos Didžiojo kunigaikščio Algirdo pėstininkų pulke, po to 1939 m. vasario 15 d. jam buvo suteiktas atsargos leitenanto karinis laipsnis.

A. Kutka buvo Lietuvos šaulių sąjungos narys, nuo 1939 m. birželio 19 d. – Finansų ministerijos kuopos šaulys.

Jis buvo apdovanotas Šaulių žvaigždės ordino medaliu (1939 m.).

Buvo vedęs, žmona Julija Gaižutytė-Kutkienė (1905–1984). Liko našlys.

Mirė 1992 m. Kaune. Palaidotas Kauno Eigulių kapinėse (12 kvartalas, 9 eilė, 1 kapavietė). Kapą ženklina skulptūrinis akmeninis kryžius, dedikuotas Onai Gaižutienei, mirusiai 1914 metais, jo postamente įtaisyta juodo šlifuoto akmens plokštė su iškaltu įrašu: "Julija / Gaižutytė-Kutkienė / 1905–1984 / Aleksandras Kutka / 1909–1992".