Tėvai: Juozapas Navickas ir Uršulė Naglasaitė-Navickienė. Augo penkių vaikų šeimoje su dviem broliais ir dviem seserimis, buvo vyriausias. Broliai Jonas ir Klemensas, seserys Veronika ir Ona.

Tėvams persikėlus, augo Tarnagalos kaime (Naujamiesčio parapija, Panevėžio r.). Dirbdamas šeimos ūkyje, eksternu išlaikė Panevėžio gimnazijos egzaminus, mokėsi muzikos pas Panevėžio Šv. Petro ir Povilo bažnyčios vargonininką Vladą Paulauską.

A. Navickas jaunystėje dirbo vargonininku Velykių (Panevėžio r.) bažnyčioje pas kleboną Juozapą Laurenčiką, kuris buvo didelis muzikos žinovas ir mėgėjas. Jo paskatintas, jaunuolis toliau mokėsi privačiai ir eksternu išlaikė 6 gimnazijos klasių baigimo egzaminus.

1921–1923 m. jis mokėsi Kauno kunigų seminarijos licėjiniame kurse, 1923–1928 m. baigė kunigų seminariją. Studijų metais jis vargonavo seminarijos bažnyčioje, mokė kitus klierikus giedoti chore.

1928 m. kovo 24 d. Kauno arkikatedroje A. Navickas buvo įšventintas kunigu.

1928–1929 m. jis tarnavo vikaru Pakruojyje, kartu tęsdamas studijas Kauno Vytauto Didžiojo universitete, įgijo teologijos licenciato laipsnį.

1929–1932 m. A. Navickas buvo Traupio (Anykščių r.) Šv. Onos parapijos vikaras, talkino klebonui Domininkui Tuskeniui, dėstė tikybą Traupio pradžios mokykloje. Jo iniciatyva buvo suremontuoti Traupio bažnyčios vargonai, vikaras subūrė du chorus, kuriuos pats lavino, mokydamas jaunimą giedoti ir dainuoti.

Tarnaudamas Traupyje, jis atnaujino ir suaktyvino Lietuvių katalikų jaunimo federacijos "Pavasaris" veiklą, vadovavo pavasarininkų "Dainiaus Maironio" kuopos valdybai, 1929 m. vasarą surengė šios kuopos 10-mečio minėjimą, pakviesdamas kuopos kūrėją kunigą Antaną Brazaitį.

Paskui iki 1936 m. A. Navickas tarnavo Krinčino (Pasvalio r.) parapijos vikaru, 1936–1940 m. buvo Spitrėnų (Utenos r.) Švč. Mergelės Marijos Taikos Karalienės parapijos administratorius.

1940–1949 m. jis buvo Antazavės (Zarasų r.) Dievo Apvaizdos parapijos klebonas. Tęsdamas 1938 m. kilusią parapijiečių iniciatyvą, Antrojo pasaulinio karo metais jis iš pagrindų suremontavo Antazavės bažnyčią, nors pats visuomet sunkiai vertėsi. 1940 m. rudenį, pasitaręs su parapijos komitetu, jis paruošė remonto planą, kurį patvirtino Zarasų apskrities inžinierius. 1941–1944 m. buvo ištiesintos iškrypusios medinio pastato sienos, supuvę rąstai pakeisti naujais, senieji varžtai pašalinti ir dėti nauji. 1944 m., dar nespėjus baigti remonto, A. Navicko rūpesčiu Antazavės bažnyčia šventė 150 metų jubiliejų.

1946 m. A. Navickas buvo paskirtas Zarasų dekanu ir Panevėžio vyskupijos katedros kapitulos kanauninku. Vyskupo K. Paltaroko paragintas, 1947 m. jis surinko ir parašė Antazavės parapijos istoriją.

1949 m. pasikeitęs vietomis su kunigu Jonu Uogintu, A. Navickas 1949–1950 m. buvo Vajasiškio (Zarasų r.) Šv. Jono Krikštytojo parapijos administratorius.

1950–1974 m., iki gyvenimo pabaigos, jis tarnavo Krekenavos (Panevėžio r.) Švč. Mergelės Marijos Ėmimo į dangų parapijos klebonu. 1955 m. siekdamas, kad vyskupas iš pagrindų atnaujintų kapitulą jaunesniais dvasininkais, jis pats atsisakė kapitulos kanauninko titulo, likdamas tik garbės kanauninku.

A. Navickas pasižymėjo meilumu ir atlaidumu, šelpė nepasiturinčius, apmokėdavo už religinių leidinių prenumeratą.

Mirė 1974 m. birželio 24 d. Krekenavoje (Panevėžio r.). Palaidotas Krekenavos senosiose kapinėse. Kapą ženklina juodo šlifuoto akmens paminklas-stela su iškalu įrašu: "A+A / Krekenavos klebonas / kan. / Antanas / Navickas / 1892–1974", kapavietę dengia šlifuoto akmens plokštė su iškaltu įrašu: "Kanauninkas / Antanas / Navickas".