Tėvai – dvaro kumečiai, vėliau žemdirbiai valstiečiai.

Užaugo Urlių kaime (Rokiškio r.), kur tėvai įsigijo kelis hektarus žemės.

Nuo vaikystės iki 1934 m. L. Neniškis nuolat tarnavo pas ūkininkus. 1934–1938 m. privačiai mokydamasis, išėjo gimnazijos kursą ir 1938 m. išlaikė penkių klasių baigimo egzaminus. Jaunystėje buvo aktyvus skautas.

1938–1940 m. mokėsi Telšių kunigų seminarijoje, kur 1939 m. baigė ir vidurinės mokyklos kursą. Ją sujungus su Kauno kunigų seminarija, 1940–1946 m. tęsė studijas Kauno tarpdiecezinėje kunigų seminarijoje.

1946 m. balandžio 16 d. Kauno arkikatedroje bazilikoje vyskupas Kazimieras Paltarokas įšventino L. Neniškį kunigu.

Paskirtas 1946 m. liepos 1 d., nuo vasaros iki gruodžio vidurio jis tarnavo Troškūnų (Anykščių r.) parapijoje vikaru, talkino klebonui Ignui Labanauskui, o šiam mirus – klebonui Antanui Baltrukėnui. 1946–1947 m. buvo Kamajų (Rokiškio r.) vikaras, 1947–1949 m. – Alantos (Molėtų r.) vikaras prie klebono Konstanto Šimašiaus.

Paskirtas 1949 m. spalio 14 d., 1949–1952 m. L. Neniškis buvo Grūžių (Pasvalio r.) Švč. Mergelės Marijos parapijos klebonas.

Perkeltas 1952 m. kovo 1 d., 1952–1990 m. L. Neniškis tarnavo Duokiškio (Rokiškio r.) Šv. Onos parapijos klebonu, buvo paskutinis šioje parapijoje nuolat rezidavęs dvasininkas. Jis pastatė naują Duokiškio kleboniją, net du kartus dekoravo bažnyčią.

L. Neniškis rėmė pogrindinio leidinio "Lietuvos katalikų bažnyčios kronika" leidybą, skatino parapijos choristų ir giedotojų aktyvumą. Nors visokiais apribojimais sovietinės valdžios buvo varžomas, jis sugebėjo sutelkti parapijos bendruomenę.

Laisvalaikiu domėjosi muzika, mėgo giesmes ir dainas, mokėjo groti keliais muzikos instrumentais, ypač mėgo kankliavimą. Amžininkų prisiminimuose išliko kaip bendrauti mėgęs, nuolat tarp parapijiečių sukęsis dvasininkas.

Mirė 1990 m. rugsėjo 16 d. Duokiškyje (Rokiškio r.). Palaidotas Duokiškio bažnyčios šventoriaus kapinėse. Kapą ženklina stilizuotas juodo akmens kryžius, jo postamente įrašyta: "Buvai geras, teatlygina Viešpats".