Tėvai: Jonas Alekna ir Pranciška Graužinytė-Aleknienė – valstiečiai žemdirbiai. Brolis Klemensas Alekna (1891–1936) – miškininkas.

1882 m. kovo 15 d. Skiemonių bažnyčioje jį pakrikštijo kunigas filialistas Karolis Bernotavičius, krikštatėviais buvo valstiečiai Kazimieras Nečiūnas ir Grasilda Balaišytė.

Mokėsi Vilniaus II gimnazijoje, studijavo Kauno Žemaičių kunigų seminarijoje. 1906 m. spalio 29 d. Žemaičių vyskupas sufraganas Gasparas Cirtautas įšventino jį subdiakonu, lapkričio 5 d. – diakonu.

1906 m. lapkričio 19 d. Žemaičių vyskupas sufraganas G. Cirtautas įšventino J. Alekną kunigu.

1906–1908 m. jis tarnavo vikaru Smilgiuose (Panevėžio r.), 1908–1911 m. buvo Subačiaus (Kupiškio r.) vikaras.

1911–1914 m. jis buvo Kaltinėnų (Šilalės r.) vikaras, 1914–1916 m. – Seredžiaus (Jurbarko r.) vikaras.

1916 m. J. Alekna okupacinės vokiečių valdžios buvo suimtas ir ištremtas į Vokietiją, ten praleido porą metų kaip karo belaisvis.

1918 m. grįžęs į Lietuvą, 1918–1920 m. jis tarnavo Pašaltuonio (Jurbarko r.) Švč. Mergelės Marijos Ėmimo į dangų bažnyčios kuratu. 1920–1921 m. J. Alekna buvo Varlaukio (Jurbarko r.) kuratas, o 1921 m., įkūrus Varlaukio Švč. Trejybės parapiją, buvo paskirtas pirmuoju jos klebonu ir 1921–1926 m. ėjo šias pareigas.

1926–1936 m. jis buvo Batakių (Tauragės r.) Šv. Onos parapijos klebonas, kol dėl pablogėjusios sveikatos šių pareigų atsisakė.

1936–1939 m., iki gyvenimo pabaigos, J. Alekna gyveno Žarėnų (Telšių r.) altarijoje.

Mirė 1939 m. sausio 2 d. Žarėnuose (Telšių r.). Palaidotas Batakių kapinėse (3 kvartalas, 13 eilė, 2 kapavietė). Kapą ženklina pilkas akmeninis kryžius su jo postamente įtaisyta portretine nuotrauka ir iškaltu įrašu: "Kun. Jonas Alekna / 1882–1939".