Tėvai: Juozapas Antanas Burkus (apie 1870 – ?) ir Ona Motiejūnaitė-Burkuvienė (1883–?). Augo septynių vaikų šeimoje su penkiomis seserimis ir broliu, buvo vyriausias. Seserys: Ona Burkutė (1915–?), Pranciška Burkutė-Paltarokienė (1917–?), Elena Burkutė-Leveikienė (1919–?), Agota Burkutė-Pranienė (1921–?), dvyniai Apolonija Burkutė-Žilinskienė (1922–?) ir Juozapas Burkus (1922–?). Dėdė (tėvo brolis) Petras Jonas Burkus (1873–?) – kunigas.

Mokėsi Gedučių (Pakruojo r.) pradžios mokykloje, 1935 m. baigė Linkuvos (Pakruojo r.) gimnaziją. 1935–1940  m. studijavo Kauno kunigų seminarijoje ir Vytauto Didžiojo universiteto Teologijos-filosofijos fakultete, baigė teologijos studijas.

1940 m. birželį Panevėžio katedroje J. Burkus buvo įšventintas kunigu.

1940–1944 m. jis tarnavo vikaru Viešintų (Anykščių r.) Šv. Mykolo arkangelo parapijoje, kur talkino administratoriui Petrui Liepai, Alantos (Molėtų r.) ir Obelių (Rokiškio r.) parapijose. Pablogėjus sveikatai, iki 1944 m. vasaros jis gydėsi Palangoje.

1944 m. pasitraukęs į Vakarus, 1944–1949 m. J. Burkus praleido tremtinių stovykloje Bavarijoje (Vokietija), kur mokytojavo, dirbo sielovadinį darbą, rašė ir leido knygas.

1949 m. persikėlęs į JAV, jis trumpai dirbo įvairius darbus. Nuo 1951 m. lapkričio iki 1952 m. liepos jis buvo Grand Rapidso (Grand Rapids, Mičigano valstija) Šv. Petro ir Povilo parapijos vikaras.

1955–1975 m. J. Burkus apsistojo ir tarnavo El Paso vyskupijoje angliškose ir ispaniškose parapijose, ten pastatė dvi bažnyčias. Dėl patirtos traumos 1975 m. jis turėjo pasitraukti iš pastoracinės veiklos.

Tarp JAV tikinčiųjų J. Burkus buvo žinomas kaip žurnalistas, leidinio "Misionierių laiškai" redaktorius, religinio turinio knygų autorius.

Kun. J. Burkaus parašytos ir išleistos knygos:

1946 m. – "Eisiu pas Tėvą : tikėjimo tiesų santrauka".

1948 m. – "Mažųjų dienelės" (kiti leidimai: 1990, 1995 m.).

1953 m. – "Teresė Neumannaitė" (kitas leidimas – 1993 m.).

1954 m. – "Rožių puokštė : maldų knygelė" (kitas leidimas – 1988 m.).

1977 m. – "Du dvasinių būtybių pasauliai" (kiti leidimai pavadinimu "Du pasauliai": 1994, 1995, 2008 m.

1978 m. – "Konnersreutho Teresė : Teresė Neumannaitė" (kitas leidimas – 1994 m.).

1979 m. – "Arti tikslo" (kiti leidimai: 1980, 1993, 1999, 2002, 2007 m.).

1982 m. – "Sutaikinimas. Reconciliation".

1983 m. – "Gaila minios" (kiti leidimai: 1993, 2000 m.), "Pasitikiu : maldynėlis" (kiti leidimai: 1987, 1994, 2001 m.).

1984 m. – "Tėvas Ginas : šių dienų stigmatizuotasis" (kiti leidimai: 1989, 1994 m.).

1986 m. – "Pietvakariuose" (kitas leidimas – 1999 m.).

1988 m. – "Sutaikinimas" (kiti leidimai: 1992, 2000 m.).

1990 m. – "Dėkoju : Šv. Eucharistija" (kiti leidimai: 1992, 2000, 2008 m.).

1994 m. – "Eucharistiniai pašnekesiai", "Mūsų dienos" (kiti leidimai: 2002, 2008 m.).

1995 m. – "Įsakymai : komentarai".

1996 m. – "Apsireiškimai : Azijoje ir Afrikoje" (kiti leidimai: 1997, 2002 m., vertimas į rusų kalbą – 1999 m.).

1997 m. – "Apreiškimai Suodžiuose" (leidimas lenkų kalba – 1999 m.), "Šventraštinis Rožinis : rožių puokštė" (kitas papildytas leidimas – 2003 m.).

1998 m. – "Apsireiškimai : Europoje ir Amerikoje" (kiti leidimai: 1998, 2003 m., vertimas į rusų kalbą – 1999 m.).

1999 m. – "Pažadai" (kitas leidimas – 2001 m.).

2003 m. – "Apreiškimai Australijoje" (kitas leidimas – 2009 m.).

2005 m. – "Trumpų apmąstymų rožinis" (kitas leidimas – 2007 m.).

Kun. J. Burkaus vertimai iš anglų kalbos:

1997 m. – "Antrosios eros baiga : Viešpaties privatūs apreiškimai, diktuoti dr. Marijai Janei Even, kuri girdi juos savo sieloje", K. Karg "Mažytė paslaptis".

2004–2007 m. – "Viešpaties akimis : Alano Ames užrašyti regėjimai" (2 tomai).

Mirė 2012 m. sausio 20 d. Hot Springse (Arkanzaso valstija, JAV). Palaidotas Čikagos (Ilinojaus valstija, JAV) Šv. Kazimiero parapijos lietuvių kapinėse.