Tėvai: Jonas Vinckus (?–1935) ir Petronėlė Baltušytė-Vinckienė (?–1926) – žemdirbiai ūkininkai, turėjo 31 hektarą žemės. Augo trijų vaikų šeimoje, buvo vidurinioji. Sesuo Emilija Vinckaitė-Bliekienė (1906–?) – žemdirbė, brolis Anupras Vinckus (1909–1993) – žemdirbys.

Vaikystėje aštuonis mėnesius mokėsi pas daraktorių, savarankiškai pasiruošė ir 1920 m. išlaikė egzaminus į Kupiškio progimnazijos 3-ąją klasę. 1920–1922 m. mokėsi Kupiškio progimnazijoje, 1922–1926 m. baigė Rokiškio gimnaziją. 1926–1927 m. toliau mokėsi Marijampolės metiniuose pedagoginiuose kursuose, įgijo pradinių klasių mokytojos specialybę.

Paskirta 1927 m. spalio 15 d., 1927–1938 m. K. Vinckaitė-Gailiūnienė dirbo Pėžų (Šiaulių r.) pradžios mokykloje mokytoja, gyvendama Raudėnuose (Šiaulių r.). Mokykla tuo metu veikė kaimyniniame Girkantų kaime (Šiaulių r.).

Suradusi Lietuvoje mokyklą, kur galėtų dirbti kartu su vyru, ir perkelta 1938 m. rugsėjo 1 d., 1938–1968 m. K. Gailiūnienė dirbo Antalinos (Anykščių r.) pradinės mokyklos mokytoja, kol išėjo į pensiją. Dalydamasi pamokas klasėms su vyru mokyklos vedėju I. Gailiūnu, ji visiems šios mokyklos mokiniams dėstė piešimą, mokė rankdarbių.

Antalinoje ji organizavo moksleivių vaidinimus, kasmet Naujiesiems metams pastatydavo po spektaklį. Per pertraukas su mokiniais ji žaisdavo liaudiškus žaidimus, mokė lietuviškų šokių.

Nuo 1968 m. iki gyvenimo pabaigos ji gyveno Panevėžyje.

Nepriklausomoje Lietuvoje K. Gailiūnienė buvo šaulė, 1930–1938 m. – Lietuvos šaulių sąjungos Raudėnų (Šiaulių r.) būrio narė, 1938–1940 m. – Surdegio (Anykščių r.) būrio narė, šio būrio tarybos narė. Siekdama laisvai organizuoti jaunimo vakarėlius, 1934 m. ji įsteigė Lietuvių tautinio jaunimo sąjungos "Jaunoji Lietuva" Pėžų skyrių ir 1934–1938 m. buvo šio jaunalietuvių skyriaus pirmininkė.

Sovietmečiu K. Gailiūnienė buvo mokytojų metodinio ratelio pirmininkė, Surdegio kolūkio moterų tarybos pirmininkė, "Žinijos" draugijos lektorė. Kiek laiko ji buvo renkama Anykščių rajono tarybos  deputate.

Ji buvo apdovanota medaliu "Už pasižymėjimą darbe" (1965 m.), Lietuvos SSR liaudies švietimo pirmūno ženkleliu.

Susituokė 1932 m. gruodžio 31 d. Raudėnų bažnyčioje, vyras Ignas Gailiūnas (1906–1978) – pedagogas pradinių klasių mokytojas, vadovas. Vaikų nesulaukė.

Mirė 1972 m. liepos 28 d. Panevėžyje. Palaidota Papilių (Anykščių r.) kapinėse. Kapą ženklina akmeninis paminklas-stela su trijų palaidotųjų asmenų portretais ir iškaltu įrašu: "A+A / Julija / Gailiūnienė / 1864–1947 / Kazimiera 1907–1972 / Ignacas 1906–1978 / Mokytojai Gailiūnai".

K. Gailiūnienės gyvenimas ir veikla pristatoma rinkinyje "Viešintų kraštas : kaimai ir žmonės" (sudarytojas Tautvilis Uža, 2017 m.).