Tėvai: Juozapas Tamošiūnas ir ? Tamošiūnienė – žemdirbiai ūkininkai.

1922–1924 m. mokėsi parengiamajame kurse prie Panevėžio mokytojų seminarijos, taip baigdamas gimnaziją. 1924–1926 m. baigė du kursus Panevėžio mokytojų seminarijoje, įgijo jaunesniojo mokytojo specialybę. Mokydamasis domėjosi meteorologija, knygrišyste, mokinių koopeeratyvų veikla.

1926–1929 m. J. Tamošiūnas dirbo Kundrėnų (Panevėžio r.) pradžios mokykloje mokytoju, kartu laikinai dirbdamas ir Šilų (Panevėžio r.) pradžios mokykloje.

1929–1937 m. J. Tamošiūnas buvo Kirmėlių (Anykščių r.) pradžios mokyklos mokytojas ir šios mokyklos vedėjas.

1937–1941 m. jis dirbo Raguvos (Panevėžio r.) šešių klasių pradinės mokyklos mokytoju.

1926–1940 m. J. Tamošiūnas buvo šaulys, Lietuvos šaulių sąjungos narys.

Laisvalaikiu griežė smuiku, dainavo chore, vaidindavo.

Susituokė 1930 m., žmona Valerija Misiūnaitė-Tamošiūnienė (1907–1999) – pedagogė, 1941–1946 m. tremtinė Altajaus krašte. Vaikai: Dainora Tamošiūnaitė-Urbonienė (g. 1932 m.) – 1941–1946 m. tremtinė, pedagogė  lietuvių kalbos mokytoja, memuaristė, ir Arūnas Tamošiūnas (1940–1941) – 1941 m. tremtinys, miręs tremtyje. Anūkė Rasa Urbonaitė-Rastauskienė-Juknevičienė (g. 1958 m.) – politikė, Kovo 11-osios akto signatarė, Europos Parlamento narė.

1941 m. birželio 11 d. mokytojas J. Tamošiūnas sovietinės valdžios buvo suimtas ir įkalintas Rešotų lageryje (Žemutinio Ingašo r., Krasnojarsko kr., Sibiras, Rusija), ten buvo kalintas iki gyvenimo pabaigos.

Mirė 1942 m. balandžio 8 d. Rešotų lageryje (Žemutinio Ingašo r., Krasnojarsko kr., Sibiras, Rusija). Palaidojimo vieta nežinoma.

Mokytojams Tamošiūnams atminti Raguvos kapinių centre pastatytas medinis drožinėtas kryžius, jo lentelėje iškaltas įrašas: "1941 m. tremtinių mokytojų / Valerijos ir Juozo / Tamošiūnų šeimai / Rešotuose (Sibire) mirusiam / tėveliui, taigoje – Aručiui, čia / palaidotai sesutei Gražytei. / Dukra Dainora".

J. Tamošiūno gyvenimas ir veikla pristatoma istorijos studijoje "Kelias nuo Mokytojų seminarijos iki Panevėžio kolegijos" (sudarė Lionė Lapinskienė, Rimanta Pagirienė ir Vilija Raubienė, 2016 m.).