Proseneliai: Pranciškus Kairys (1798–1880) ir Kristina Kiaušaitė-Kairienė (apie 1827 – apie 1900). Seneliai: Feliksas Kairys (1855–1925) – knygnešys, švietėjas, ir Juozapota Rimkutė-Kairienė (1861–1947) – žemdirbė, dainininkė. Tėvai: Pranciškus Kuliešius (1876–1942) – geležinkelininkas ir Veronika Kairytė-Kuliešienė (1888–1944) – dainininkė. Sesuo Rozalija Kuliešaitė-Lukoševičienė (1913–1982) – gydytoja odontologė, brolis Kazimieras Kuliešius (1927–2007) – pedagogas.

Pirmojo pasaulinio karo metais tėvai kartu su kitais pabėgėliais iš Lietuvos buvo pasitraukę į Ukrainą. Grįžusi 1920 m., šeima apsistojo Panevėžyje.

Vaikystėje augo Panevėžyje, vėliau Anykščiuose. Mokėsi Užpaliuose (Utenos r.), Alytuje, gyvendamas pas tetas. Nuo jaunystės dalyvavo meno saviveikloje, vaidindavo moksleivių spektakliuose. 1937 m. baigė Kauno farmacijos mokyklą ir gavo leidimą farmacinei praktikai.

1937–1938 m. P. Kuliešius dirbo mokiniu Antano Žukausko-Vienuolio vaistinėje Anykščiuose, gyveno rašytojo namuose.

1938–1940 m. jis buvo mobilizuotas į privalomąją karo tarnybą ir tarnavo Lietuvos kariuomenėje, iš kur buvo paleistas 1940 m. gegužę.

Teatro režisieriaus Juozo Monkaus-Monkevičiaus pakviestas į Vilnių, 1940–1943 m. jis dirbo geležinkelininkų vaistinėje mokiniu ir vakarais vaidino "Vaidilos" dramos teatre, dainavo M. K. Čiurlionio vardo vyrų chore.

1943 m. P. Kuliešius išlaikė provizoriaus padėjėjo egzaminus, gavo pažymėjimą ir grįžo į Anykščius, 1943–1944 m. dirbo A. Vienuolio vaistinėje bei sukarintoje Anykščių geležinkelio stotyje komendanto padėjėju-budėtoju.

1944 m. vasarą per Anykščius praėjus karo frontui ir nelikus vaistinės, P. Kuliešius 1944–1946 m. buvo Kamajų (Rokiškio r.) vaistinės vedėjas, 1946–1950 m. dirbo Vyriausiosios farmacijos valdybos Panevėžio tarprajoninės kontoros vyriausiuoju farminspektoriumi. Jis atstatinėjo sugriautą Panevėžio krašto vaistinių ūkį, atkūrė medikamentų tiekimą Panevėžio, Biržų, Rokiškio, Anykščių ir Utenos rajonuose.

Panaikinus šią kontorą, nuo 1950 m. iki gyvenimo pabaigos P. Kuliešius gyveno Kavarske (Anykščių r.).

1950–1997 m. jis dirbo Kavarsko vaistinėje, 1950–1986 m. buvo jos vedėjas, 1986–1997 m. – provizorius-technologas. 1964 m. jis neakivaizdžiai baigė Kauno medicinos instituto Farmacijos fakultetą ir įgijo provizoriaus išsilavinimą.

Kavarske P. Kuliešius parengė naujos vaistinės pastato projektą ir pats vadovavo statybai, iki 1986 m. dirbo toje vaistinėje, kol persikėlė į naują sveikatos įstaigų kompleksą. 1960 m. jo vadovaujamai Kavarsko vaistinei respublikinėje farmacijos įstaigų apžiūroje buvo pripažinta pirmoji vieta.

P. Kuliešius taip pat dalyvavo Kavarsko kultūriniame gyvenime, subūrė saviveiklininkų būrį, režisavo miestelio kultūros namų dramos būrelio statomus spektaklius, pats juose vaidino. Jis dainuodavo solo (boso partijas), 1994–2003 m. giedojo Kavarsko bažnyčios chore, paskutinį kartą – 2003 m. balandžio 20 d., per Velykas. Jis taip pat buvo Kavarsko draugiškojo teismo pirmininkas, buvo renkamas vietinių tarybų deputatu.

1965 m. P. Kuliešius dalyvavo I Lietuvos farmacininkų mokslinės draugijos suvažiavime, buvo jo meninės dalies vedėjas (kartu su Vytautu Sedelskiu).

P. Kuliešiui buvo suteiktas Lietuvos nusipelniusio provizoriaus garbės vardas.

Vedė 1941 m. Vilniuje, žmona Liucija Gelaželaitė-Kuliešienė (1920–1988) – vaistininkė. Liko našlys. Vaikai: Andrius Kuliešius (g. 1942 m.) – sporto organizatorius krepšinio treneris, Dalytė Kuliešiūtė (1944–1946), Rasa Kuliešiūtė-Šeštokienė (1948–1981) – ekonomistė, Viktoras Kuliešius (g. 1952 m.) – inžinierius.

Vėl vedė 1989 m. Anykščiuose, žmona Ona Šileikytė-Masilionienė-Kuliešienė – gydytoja odontologė.

Mirė 2003 m. gegužės 1 d. Kavarske (Anykščių r.). Palaidotas Anykščių kapinėse.

P. Kuliešiaus gyvenimas ir veikla pristatyta Reginos Stonkutės-Žukienės ir Anatolijaus Kostiukevičiaus sudarytame žinyne "Žymiausi Lietuvos farmacininkai" (leidinio "Lietuvos farmacija" I tomas, 1998 m.).