Tėvai: Ipolitas Vilkončius (1927–2007) – miškininkas ir Angelė Sližytė-Vilkončienė (1928–2021) – pedagogė biologijos ir chemijos mokytoja. Sesuo Eglė Vilkončiūtė-Šenavičienė (g. 1950 m.) – psichologė.

Tėvams persikėlus, nuo 1958 m. augo Anykščiuose. 1962–1973 m. baigė Anykščių Jono Biliūno vidurinę mokyklą. Mokykliniais metais piešė, 1966–1969 m. ugdomas mokytojo Jeronimo Kmieliausko, lankė mokytojos Stasės Judickienės dailės būrelį. 1973–1978 m. studijavo Šiaulių pedagoginio instituto Dailės fakultete, kaip baigiamąjį darbą parengė dėstytojo J. Kmieliausko portretą ir įgijo piešimo, braižybos ir darbų mokytojo išsilavinimą. Studijuodamas susidomėjo aviacija, lankė aviatorių klubą.

1978–1981 m. A. Vilkončius dirbo Kurklių (Anykščių r.) vidurinėje mokykloje dailės ir darbų mokytoju, 1981–1982 m. buvo Anykščių Jono Biliūno vidurinės mokyklos piešimo mokytojas. Jis sukūrė šios mokyklos interjero simbolius, įamžinusius Jono Biliūno atminimą: rašytojo portretą ir vitražą.

1982 m. Anykščiuose įsteigus Tarpmokyklinį gamybinio mokymo kombinatą, A. Vilkončius buvo paskirtas pirmuoju jo direktoriumi ir vadovavo šiai kelis kartus pertvarkytai įstaigai iki jos paskutinio pertvarkymo 2020 m. 1989–1990 m. jis buvo Anykščių techninės kūrybos centro direktorius, 1990–1993 m. – Anykščių moksleivių techninės kūrybos ir darbo namų direktorius, 1993–2020 m. – Anykščių kūrybos ir dailės mokyklos direktorius, kompozicijos mokytojas metodininkas, kol pertvarkant įstaigą išėjo į pensiją.

A. Vilkončius išplėtė gamybinio mokymo įstaigoje vaizduojamojo meno dirbtuves, įkūrė kraštotyros muziejų ir buities daiktų evoliucijos ekspozicijas, suteikdamas Anykščių mokiniams daugiau galimybių lavintis vaizduojamojo meno srityse. 1992 m. tuo metu veikusiuose Technikos ir kūrybos namuose jis atidarė dailės studiją. Nuo 1993 m. jo vadovaujamoje Anykščių kūrybos ir dailės mokykloje buvo dėstomi dalykai: piešimas, tapyba, skulptūra, kompozicija, dailėtyra.

Jis sukaupė turtingą senų buities daiktų (XIX–XX a.) ir senos buitinės bei radijo technikos (XX a.) rinkinį, jį parengė eksponuoti ir 2018 m. Anykščiuose atidarė Kūrybos ir dailės mokyklos muziejinę ekspoziciją.

A. Vilkončius yra dailininkas tapytojas, kuria paveikslus, naudodamas originalią tapybos štampavimo techniką, savo kūrinius nuo 1978 m. eksponuoja dailės parodose.

Jis surengė septynias personalines dailės parodas Anykščių rajone: Anykščiuose, Kavarske ir Svėdasuose. Jo darbai buvo eksponuoti apie 20 grupinių parodų Lietuvoje (Anykščiuose, Utenoje, Visagine, Dusetose, Rokiškyje, Vilniuje, Alytuje), tarp jų ir projekto "Vilnius – vartai į Aukštaitiją" dailės galerijoje (2011 m.), trijose grupinėse parodose užsienyje: Maduonoje ir Vestienoje (Latvija) bei Štainfurte (Steinfurt, Šiaurės Reinas-Vestfalija, Vokietija). 

Jis parengė ir išleido suvenyrinį leidinį "Antanas Baranauskas. Anykščių šilelis. Arūnas Vilkončius. Tapyba" (2010 m.).

Lietuvos Respublikos 100-mečio proga jis apdovanotas Anykščių rajono savivaldybės "Šimtmečio anykštėno" atminimo ženklu (2018 m.).

Laisvalaikiu kolekcionuoja antikvarinius buities reikmenis, radijo imtuvus, rekonstruoja senovinę techniką ir transporto priemones.

Vedęs, žmona Zita Žibūdaitė-Vilkončienė (g. 1957 m.) – pedagogė, valstybės tarnautoja. Vaikai: Vainius Vilkončius (g. 1984 m.) ir Justina Vilkončiūtė-Sinickienė (g. 1985 m.).