Tėvas Kazimieras Špakevičius – žemdirbys ūkininkas. Brolis Julijonas Špakevičius (1888-–1956) – mokslininkas agronomas, pedagogas, emigrantas JAV. Giminaitis (pusbrolio sūnus) Steponas Kolupaila (1892–1964) – mokslininkas geografas.

1886–1892 m. baigė penkias klases Panevėžio realinėje mokykloje. 1893–1898 m. studijavo Kauno Žemaičių kunigų seminarijoje.

1898 m. gegužės 30 d. L. Špakevičius buvo įšventintas kunigu.

1898–1902 m. jis buvo Kauno Švč. Trejybės parapijos vikaras. Tarnaudamas Kaune, jis palaikė ryšius su nežinomu knygnešiu, gaudavo iš jo draudžiamos lietuviškos spaudos ir ją platindavo. Slaptojo "Dainos" choro dainininkams jis parūpindavo paskaityti lietuviškų knygelių.

1902–1907 m. L. Špakevičius buvo Dusetų (Zarasų r.) vikaras, šioje parapijoje irgi užsiėmė švietėjiška veikla, rūpinosi lietuviškos spaudos platinimu. Už tai, kad 1905–1907 m. revoliucijos laikotarpiu agitavo Dusetų krašto žmones jėga susigrąžinti cerkvėmis paverstas bažnyčias, 1907 m. jis buvo perkeltas į kitą parapiją ir tų metų rudenį tarnavo Konstantinovo (dabar – Kvėdarna, Šilalės r.) parapijos vikaru.

1907–1915 m. L. Špakevičius buvo Žaiginio (Raseinių r.) Šv. Antano Paduviečio bažnyčios kuratas, kunigas filialistas. Pas jį svečiavosi į tėviškę atvykstantis kunigas ir poetas Jonas Mačiulis-Maironis.

Pirmojo pasaulinio karo pradžioje 1915 m. vasarą Žaiginio bažnyčia vokiečių kariuomenės antpuolio metu buvo sudeginta. L. Špakevičius, rizikuodamas gyvybe, mėgino išgelbėti pastatą ir ten buvusį turtą, paskutinis pasitraukė iš degančios bažnyčios, todėl net pasklido kalbos, kad dvasininkas žuvęs. Vokiečių okupacinė valdžia jį suėmė ir išgabeno į Prūsijos koncentracijos stovyklą Celėje (Celle, Žemutinė Saksonija, Vokietija), kur kunigas kartu su dar keliolika lietuvių dvasininkų praleido 8 mėnesius.

1916 m. pavasarį išleistas į laisvę ir grįžęs į Lietuvą, 1916–1918 m. jis buvo Paįstrio (Panevėžio r.) Švč. Mergelės Marijos Globos parapijos klebonas.

1918–1930 m. L. Špakevičius buvo Kavarsko (Anykščių r.) Šv. Jono Krikštytojo parapijos klebonas, pasižymėjo ūkiškumu, tvarkant parapijos buitį, gerai pažino parapijos žmones. 1920–1939 m., iki gyvenimo pabaigos, jis buvo ir Ukmergės dekanato dekanas. Kavarske jis ugdė vikarus: 1918–1920 m. – Tadą Radžių, 1920 m. – Stanislovą Ūsorį, 1920–1924 m. – Juozą Paulauską, 1924–1925 m. – Bronislovą Strumilą, 1925 m. – Antaną Ožalą, 1926–1927 m. – Vaclovą Strazdą, 1927–1929 m. – Zenoną Gelažių, 1929–1930 m. – Kazimierą Telksnį.

1918 m. balandžio 26 d. atvykęs į Kavarską, jis rado Pirmojo pasaulinio karo metais nuniokotą bažnyčios pastatą. Amerikos lietuvio Pranciškaus Kalibato 1924–1930 m. remiamas, jis suremontavo bažnyčią: 1920 m. įsigijo naujų skulptūrų ir aptvarkė didįjį altorių, iki 1924 m. pastatė naują kleboniją ir įrengė šoninius altorius, iki 1927 m. atstatė susprogdintą jos bokštą ir pakabino jame varpus, 1929 m. sumontavo Čekoslovakijoje nupirktus vargonus.

1930 m. pasikeitęs vietomis su Anicetu Barakausku, 1930–1939 m., iki gyvenimo pabaigos, L. Špakevičius buvo Ukmergės Šv. apaštalų Petro ir Pauliaus bažnyčios klebonas. Toliau P. Kalibato 1930–1938 m. remiamas, 1931–1933 m. jis pertvarkė ir išplatino Ukmergės akmeninės bažnyčios pastatą, iš esmės pakeisdamas jos architektūrą iš klasicistinės į eklektinę su dominuojančiomis neoklasicizmo formomis. Jis pristatė pastato frontoną su kolonomis, padidindamas bažnyčios plotą trečdaliu, padidino jos langus, taip pat pristatė presbiteriją ir dvi zakristijas, o buvusią absidą pertvarkė į naują fasadą. Bažnyčios rekonstrukcijai jis išleido apie 80 tūkst. litų, iš kurių 13 tūkst. skyrė P. Kalibatas.

Nuo 1932 m. jis buvo Ukmergės kalėjimo kapelionas, 1934–1936 m. – ir Ukmergės lenkų gimnazijos kapelionas.

1930 m. L. Špakevičius buvo paskirtas Kauno arkivyskupijos katedros kapitulos Garbės kanauninku.

Nuo 1904 m. jis bendradarbiavo katalikiškoje spaudoje, pasirašinėdamas Burgeniečiu, jo publikacijas spausdino "Viltis", "Tėvynės sargas", "Šaltinis", "Draugija".

Mirė 1939 m. kovo 31 d. Karaliaučiaus (dabar – Kaliningradas, Rusija) ligoninėje. Palaidotas Ukmergės Šv. apaštalų Petro ir Pauliaus bažnyčios šventoriuje. Kapą, aptvertą metaline tvorele, ženklina pilko šlifuoto akmens kryžius su portretine nuotrauka bei iškaltais įrašais: "A. A. / Kun. kan. Leonas / Špakevičius / Mirė 1933-III-31 / 63 m. amž." ir "Palaiminti mirusieji, / kurie miršta Viešpatyje, / nes jų darbai / juos seka. Apr. 14, 13".