Tėvai: Jurgis Bausys ir Ona Žekonytė-Bausienė – žemdirbiai ūkininkai, turėjo 50 hektarų žemės. Augo aštuonių vaikų šeimoje su šešiais broliais ir seserimi, bet trys broliai ir sesuo mirė Pirmojo pasaulinio karo pabaigoje per vidurių šiltinės epidemiją. Broliai: Aleksas Bausys (1895–1979) – laisvės gynėjas, Lietuvos kariuomenės savanoris, Vyties Kryžiaus ordininkas, žemdirbys, Benediktas Bausys (1908–?) – žemdirbys, giedotojas, ir Ignotas Bausys (1910–?) – žemdirbys ūkininkas, amatininkas kalvis. Pusbroliai (tėvo brolio Jono sūnūs): Juozas Bausys (1897–1920) – kariškis, laisvės gynėjas, žuvęs Lietuvos Nepriklausomybės kovose, ir Julius Bausys (1904–1963) – agronomas, žurnalistas.

1914–1916 m. mokėsi Troškūnų (Anykščių r.) pradžios mokykloje, 1916–1917 m. – Panevėžio "Saulės" draugijos pradžios mokykloje, 1917–1924 m. baigė Panevėžio gimnaziją. 1924–1929 m. studijavo Kauno kunigų seminarijoje ir Kauno Vytauto Didžiojo universiteto Teologijos-filosofijos fakultete. Jaunystėje ir studijuodamas priklausė Traupio "Dainiaus Maironio" pavasarininkų kuopai.

1929 m. A. Bausys buvo įšventintas kunigu.

1929–1933 m. jis tarnavo vikaru Kamajuose (Rokiškio r.), 1933–1936 m. buvo Pasvalio parapijos vikaras.

1936–1940 m. A. Bausys buvo Smilgių (Biržų r.) Jėzaus Nukryžiuotojo parapijos administratorius. Jis perėmė parapijos iniciatyvą statyti naują mūrinę bažnyčią, kaupė jai statybines medžiagas. Klebono iniciatyva 1939 m. buvo sumūryti naujos bažnyčios pamatai.

Susirgęs džiova, 1940 m. kovą A. Bausys pasitraukė iš administratoriaus pareigų ir išvyko gydytis į Kauno Aukštosios Panemunės Raudonojo Kryžiaus sanatoriją. Jo pradėta statyti Smilgių bažnyčia buvo baigta ir tapo viena gražiausių XX a. vidurio moderniųjų Lietuvos bažnyčių.

Mirė 1945 m. gruodžio 19 d. Palaidotas Traupio (Anykščių r.) bažnyčios šventoriuje. Kapą ženklina betoninis paminklas – Laiminančio Kristaus skulptūra ant postamento, postamente įtaisyta portretinė nuotrauka ir metalinė plokštelė su išlietu įrašu: "A A / Kun. Adolfas / Bausys / 1903.XII.3–1945.XII.19".