Tėvas Jonas Šivickas. Augo aštuonių vaikų šeimoje. Broliai Kazimieras, Albinas ir Jurgis, keturios seserys.

Mokėsi Skrebotiškio pradžios mokykloje, 1911 m. baigė Mintaujos (dabar – Jelgava, Latvija) gimnaziją. Nepaklusęs tėvų valiai studijuoti teologiją ir tapti kunigu, 1911–1915 m. studijavo Odesos (Ukraina) universitete mediciną, pragyvenimui užsidirbdamas iš privačių pamokų.

Prasidėjus Pirmajam pasauliniam karui, nebaigęs studijų A. Šivickas buvo mobilizuotas į carinės Rusijos kariuomenę ir dalyvavo karo fronte. Demobilizuotas 1918 m. pradžioje jis baigė studijas, įgijo gydytojo išsilavinimą ir 1918 m. rudenį grįžo į Lietuvą.

1918–1919 m. A. Šivickas buvo privatus gydytojas Biržų ir Pasvalio krašte. 1919 m. jis buvo mobilizuotas į Lietuvos kariuomenę, tačiau netrukus išleistas ir paskirtas Kėdainių apskrities gydytoju.

XX a. 3-ajame dešimtmetyje jis gyveno Kėdainiuose, vertėsi ir privačia gydytojo terapeuto bei ginekologo praktika, dirbo Kėdainių ligoninėje gydytoju. Mirus pacientei, jis buvo apkaltintas ir atleistas iš darbo.

Apie 1930 m. A. Šivickas persikėlė į Raseinius, dirbo Raseinių apskrities gydytoju, ėjo Šiaulių sanatorijos viršininko pareigas.

Pirmosios sovietinės okupacijos pradžioje 1940 m. liepos 13 d. A. Šivickas buvo suimtas, apkaltintas tėvynės išdavimu, kalintas Raseiniuose, Kauno IX forte. 1941 m. balandžio 19 d. Ypatingasis pasitarimas nuteisė A. Šivicką 8 metus kalėti. 1941 m. birželį jis buvo išgabentas į Komiją (Rusija) ir 1940–1948 m. gyveno Intos lageryje, ten dirbo gydytoju.

1948 m. sausio 13 d. jis buvo reabilituotas, kaltinimus pripažinus nepagrįstais. Visą šį laiką jo šeima ir artimieji laikė A. Šivicką dingusiu be žinios.

1948 m. grįžęs į Lietuvą ir nerasdamas kur prisiglausti, A. Šivickas apsigyveno Anykščiuose, iš pradžių su žmona nuomodamas kambarį, o paskui pasistatė ir namą, liko iki gyvenimo pabaigos. Iki senatvės jis vertėsi medicinine praktika – 1948–1949 m. dirbo Anykščių ambulatorijoje, nuo 1949 m. – Anykščių poliklinikoje odos ir venerinių ligų gydytoju. A. Šivickas buvo ir pirmasis Anykščiuose dirbęs teismo medicinos ekspertas. Čia jis buvo sovietinės valdžios pareigūnų nemėgstamas, bet užsirekomendavo kaip geras, nors ir ambicingas gydytojas.

Laisvalaikiu sukaupė turtingą asmeninę biblioteką.

Buvo vedęs, žmona Elena Milvydaitė-Šivickienė (1894–1985) – medikė. Užaugino dvi dukteris: Aldona Šivickaitė-? ir Nijolė Šivickaitė-Sivickas de Mockus (1934–2018) – dailininkė skulptorė, emigrantė Kolumbijoje. Anūkai: Aurelijus Rūtenis Antanas Mockus-Šivickas (g. 1952 m.) – mokslininkas matematikas, filosofas ir politikas, Ismena Mockus-Sivickas (g. 1954 m.) – mokslininkė gydytoja endokrinologė.

Mirė 1958 m. gegužės 19 d. Anykščiuose. Palaidotas Anykščių senosiose kapinėse šeimos kape. Kapą ženklina betoninis paminklas su portretiniu bareljefu ir įrašais: "A+A / Gyd. A. Šivickas / 1890–1958 / E. Šivickienė / 1894–1985 / Liūdi dukros / anūkai".

A. Šivicko šeimos istorija pristatoma Rimanto P. Vanago dokumentinės prozos knygoje "Nijolė Lituana" (2024 m.).