Tėvai: Liudvikas Ziberkas (apie 1869 – 1934) ir Marijona Dagytė-Ziberkienė (1883–1942). Broliai: Jonas Ziberkas (1907–1989) – mokslininkas inžinierius hidrotechnikas, Vladas Ziberkas (1908–?), Kajetonas Ziberkas (apie 1914 – ?), Juozas Ziberkas (apie 1915 – ?) ir ? Ziberkas.

1937 m. baigė studijas Kauno Vytauto Didžiojo universitete, įgijo inžinieriaus išsilavinimą.

1938–1941 m. B. Ziberkas buvo Kėdainių miesto inžinierius.

1944–1947 m. jis dirbo Lietuvos energijos valdyboje skyriaus viršininku.

1947–1950 m. jis dėstė Kauno universitete, po jo pertvarkymo nuo 1951 m. – Kauno politechnikos institute, nuo 1958 m. buvo docentas.

1954 m. jis apsigynė disertaciją apie ksilolito gamybą iš dolomitinės žaliavos Lietuvoje, buvo technikos mokslų kandidatas, 1993 m. nostrifikuotas fizinių mokslų, technologijos daktaras.

B. Ziberkas parašė ir paskelbė darbų apie ksilolito gamybą iš vietinių žaliavų, stambiaporį betoną su vietinio dolomito užpildu.

Jis buvo vienas iš vadovėlio "Pastatų konstrukcijos" pirmosios dalies (1962 m.) autorių.

Buvo vedęs, žmona Laimutė Blažaitytė-Ziberkienė (1922–2010). Vaikai: Tolvaldas Kazys Ziberkas (1944–2009), Algaudas Ziberkas (g. 1950 m.)  ir Raminta Ziberkaitė-Dovydaitienė – mokslininkė inžinierė technologė.

Mirė 2004 m. sausio 6 d. Kaune. Palaidotas Kauno Petrašiūnų kapinėse (21 kvartalas, 12 eilė, 3 kapas). Kapą ženklina rusvo šlifuoto akmens paminklinė stela, dešinioji jos pusė skirta Gražvydui Blažaičiui, kairiojoje iškaltas įrašas: "A+A / Mokytoja / Teklė / Blažaitienė / 1899.X.1–1973.XII.23 / Pedagogas / Juozas / Blažaitis / 1888.VII.8–1972.V.28 / Benonas / Ziberkas / 1910.XI.4–2004.I.6 / Laimutė / Ziberkienė / 1922.I.10–2010.VIII.16".