Tėvai: Kazimieras Strielčiūnas ir Kazimiera Naciskaitė-Strielčiūnienė – žemdirbiai ūkininkai.

Mokėsi Užuožerių (Radviliškio r.) pradžios mokykloje, 1936 m. baigė Šeduvos "Saulės" progimnaziją, 1936–1938 m. – šešias Šiaulių berniukų gimnazijos klases. 1938–1945 m. studijavo Kauno kunigų seminarijoje.

1945 m. sausio 14 d. Panevėžio vyskupas Kazimieras Paltarokas įšventino A. Strielčiūną kunigu.

1945–1949 m. jis tarnavo vikaru Vyžuonose (Utenos r.), Vabalninke (Biržų r.), Kupiškyje ir Naujamiestyje (Panevėžio r.).

1949–1959 m. A. Strielčiūnas buvo Obelių (Rokiškio r.) Šv. Onos parapijos administratorius. Jis organizavo itin iškilmingas jaunimo procesijas. Už tai, kad nupirko Obelių bažnyčios remontui nuo Klaipėdos bažnyčios statybų likusias statybines medžiagas, 1959 m. jis buvo nuteistas vieneriems metams priverstinių darbų ir iki 1962 m. neteko kunigui privalomo darbo pažymėjimo, 1959–1960 m. dirbo Kraštų (Biržų r.) plytinėje.

Pablogėjus sveikatai, 1960–1963 m. jis buvo Pabiržės (Biržų r.) parapijos altarista. 1963–1976 m. jis buvo Alizavos (Kupiškio r.) Šv. Jono Krikštytojo parapijos klebonas, ten kartu aptarnavo ir Palėvenėlės bažnyčią.

1976–1978 m. A. Strielčiūnas tarnavo Surdegio (Anykščių r.) Švč. Mergelės Marijos Ėmimo į dangų parapijos klebonu, kol dėl pašlijusios sveikatos turėjo palikti šias pareigas.

1978–1981 m. jis buvo altarista Pasvalyje, 1981–1988 m., iki gyvenimo pabaigos, – Pandėlio (Rokiškio r.) Švč. Mergelės Marijos Vardo parapijos altarista, talkino vietiniams kunigams.

Mirė 1988 m. rugpjūčio 25 d. Pandėlyje (Rokiškio r.). Palaidotas Pandėlio bažnyčios šventoriuje šalia kitų kunigų. Kapą ženklina juodo šlifuoto akmens paminklas-kryžius, iškalti įrašai: "A+A / Kunigas / Alfonsas Strielčiūnas / 1920–1988" ir "Viešpatie, laimingas žmogus, / kuris Tavimi vilias / Ps. 17".