Tėvai: Nikodemas Šurna ir Uršulė Briedytė-Šurnienė – valstiečiai žemdirbiai.

Buvo pakrikštytas Naujamiesčio bažnyčioje 1865 m. sausio 12 d., krikštijo kunigas Jonas Balandis.

Mokėsi Mintaujos (dabar – Jelgava, Latvija) gimnazijoje. 1888 m. baigė Kauno Žemaičių kunigų seminariją.

1888 m. sausio 6 d. buvo įšventintas kunigu.

1888–1889 m. J. Šurna tarnavo vikaru Kauno Šv. Kryžiaus parapijoje, 1889–1892 m. buvo Panevėžio Šv. apaštalų Petro ir Povilo bažnyčios vikaras, 1892–1896 m. – Pašvitinio (Pakruojo r.) parapijos vikaras.

1896–1902 m. jis buvo Vandžiogalos (Kauno r.) Švč. Trejybės parapijos klebonas. Lietuviškos spaudos draudimo laikotarpiu J. Šurna garsėjo tarp kunigų lietuviškomis patriotinėmis nuotaikomis. 1897 m. Žemaičių vyskupas Mečislovas Paliulionis buvo paskyręs J. Šurną Kauno dekanato dekanu, bet 1898 m., carinės Rusijos valdžios spaudžiamas, turėjo jį iš šių pareigų atleisti.

1903–1916 m. jis tarnavo Šėtos (Kėdainių r.) Švč. Trejybės parapijos klebonu. 1910 m. Šėtoje jis pakrikštijo 4 stačiatikius ir taip pateko į carinės Rusijos valdžios nemalonę, buvo nubaustas 25 rublių bauda. Šėtoje jis principingai sustabdė šio krašto lenkinimą.

Paskirtas 1916 m. pradžioje, 1916–1918 m. J. Šurna buvo Anykščių Šv. Mato parapijos klebonas. Jo iniciatyva laikinais stogeliais buvo užtaisyti Pirmojo pasaulinio karo metais nuversti bažnyčios bokštai. Anykščiuose jis ugdė vikarus: 1916 m. trumpai – Petrą Račą, 1916–1918 m. – Juozapą Norvilą.

1917 m. kaip Krikščionių demokratų sąjungos atstovas ir Anykščių klebonas jis dalyvavo Vilniaus konferencijoje.

1918 m. vasarą Anykščiuose įsteigus "Pavasario" draugijos kuopą, J. Šurna buvo išrinktas į jos valdybą ir pirmininku, tačiau šios draugijos veiklos nespėjo išplėtoti, nes rugpjūtį iš parapijos buvo iškeltas ir iš Anykščių į Deltuvą išvyko kartu su vikaru Juozapu Norvila.

1918–1927 m. jis buvo Deltuvos (Ukmergės r.) Švč. Trejybės parapijos klebonas, senatvėje nuo 1927 m. iki gyvenimo pabaigos liko šios parapijos altarista.

Gyvendamas ir tarnaudamas Deltuvoje, J. Šurna dalyvavo bendruomenės gyvenime, jo iniciatyva 1925 m. buvo pakeista prastos reputacijos, prasigėrusi Deltuvos valsčiaus valdyba. Jis rūpinosi "Angelo Sargo" vaikų religinės organizacijos veikla, platino katalikišką spaudą, pasižymėjo kaip darbštus, malonus ir patriotiškas dvasininkas.

Amžininkų prisiminimuose išliko kaip tvirtas, bet švelnus, malonus ir mandagus dvasininkas.

Mirė 1930 m. balandžio 20 d. (Velykų rytą) Deltuvoje (Ukmergės r.). Palaidotas Deltuvos bažnyčios šventoriuje. Kapą ženklina paminklas – Laiminančio Kristaus statula ant aukšto akmeninio postamento su įrašais: "A. + A. / Kun. Jonas / Šurna / mirė 1930 m. / balandžio 20 d. / Klebonavo 12 m. Deltuvoje" ir "Palaiminti mirusieji, kurie / miršta Viešpatyje, nes jų / darbai juos seka. Apr. 14, 13."