Gimimo data nustatyta pagal krikšto metrikų įrašą; pagal naująjį kalendorių – 1867 m. kovo 20 d.

Tėvai: Antanas Grinkevičius ir Elžbieta Gasparkaitė-Grinkevičienė – žemdirbiai pasiturintys ūkininkai, kaimo šviesuoliai. Augo dešimties vaikų šeimoje, buvo jauniausias iš brolių, broliai Jonas Grinkevičius (1859–1919) – ūkininkas tėvonijos paveldėtojas, Juozapas Grinkevičius (1863–?) – darbininkas ir Justinas Grinkevičius (mirė sulaukęs 24 metų), seserys Elžbieta Grinkevičiūtė (1869–1910) – mirė jaunystėje, Konstancija Grinkevičiūtė-Mikeliūnienė-Valavičienė (1871–?) – žemdirbė, Ona Grinkevičiūtė-Bručienė (1872–1909) – žemdirbė, mirė jaunystėje, Kotryna Grinkevičiūtė-Medutienė (1875–?) – mirė jaunystėje, Barbora Grinkevičiūtė (1878–1886) – mirė jaunystėje ir Liudvika Grinkevičiūtė (1878–?) – brolio kunigo šeimininkė. Giminaičiai: (sesers Onos sūnus) Bronius Bručas (1902–1978) – pašto pareigūnas, visuomenininkas, tremtinys, (sesers Konstancijos anūkė) Teresė Julija Mikeliūnaitė (1928–1984) – muziejininkė, literatė.

1867 m. kovo 9 d. Panevėžio bažnyčioje jį pakrikštijo vikaras kunigas Juozapas Bartavičius, krikštatėviai buvo valstiečiai Kazimieras Balčikonis ir Uršulė Grinkevičiūtė.

Baigė Panevėžio pradžios mokyklą, Šiaulių gimnaziją. Studijavo Kauno Žemaičių kunigų seminarijoje. Studijų metais dalyvavo slaptos lietuvių klierikų draugijos, Lietuvos mylėtojų draugijos veikloje, kartu su Juozu Tumu, Jonu Vizbaru (1869–1919), Kazimieru Pakalniškiu (1866–1933) ir kitais rūpinosi lietuviškos spaudos leidimo reikalais. Vasaromis grįždamas į tėviškę Vaivadus, atgabendavo ir draudžiamų lietuviškų leidinių. Caro žandarų tuomet buvo įtariamas lietuvybės veikla, bet nuo kaltinimų išpirktas, Panevėžio klebonui M. Chodoravičiui užtarus.

1890 m. K. Grinkevičius buvo įšventintas kunigu.

1890–1893 m. jis buvo vikaras Žemaičių Kalvarijoje (Plungės r.). Čia jis organizavo draudžiamos lietuviškos spaudos gabenimą ir platinimą, pats atsiveždavo iš Tilžės ir platino nelegalius leidinius.

1893–1901 m. K. Grinkevičius buvo Anykščių vikaras, talkino klebonui Ferdinandui Ūseliui, pradėjusiam naujos bažnyčios statybą. Sergant F. Ūseliui ir vikarui Juozapui Giedrikui, jis dažnai vienas tvarkėsi su visomis religinėmis apeigomis 12 tūkst. tikinčiųjų turėjusioje parapijoje bei organizavo senosios bažnyčios griovimo darbus bei naujos bažnyčios statybą. 1898 m. nugriovus senąją bažnyčią, jis laikydavo pamaldas Anykščių kapinių koplyčioje, o pamokslus žiemą ir vasarą dažniausiai sakydavo lauke.

Po klebono F. Ūselio mirties K. Grinkevičius anykštėnų buvo prašomas likti klebonu, bet Žemaičių vyskupas Mečislovas Paliulionis pagailėjo jo sveikatos ir iškėlė į ramesnę parapiją jos atgauti. Prieš išvykdamas jis spėjo paskubinti naujos Anykščių bažnyčios statybą – sumūrijus 1,2 mln. plytų, pastato sienos buvo iškeltos iki stogo.

1901–1906 m. jis tarnavo Vaitkuškio (Ukmergės r., dabar – Pašilės bažnyčia Ukmergėje) kunigu filialistu. Atsisakęs leisti vaikams mokytis iš rusiškų tikybos vadovėlių, kunigas buvo valdžios nubaustas, bet vyskupo viešai pagirtas. 1905 m. K. Grinkevičius dalyvavo Didžiajame Vilniaus Seime, grįžęs platino šio Seimo nutarimus, už tai paskui buvo caro žandarų persekiojamas.

Nuo 1906 m. iki gyvenimo pabaigos jis gyveno ir tarnavo Rozalime (Pakruojo r.).

1906–1915 ir 1918–1934 m. K. Grinkevičius buvo Rozalimo Švč. Mergelės Marijos Vardo parapijos klebonas. Jo iniciatyva bažnyčios stogas buvo perdengtas skarda, po varpinės gaisro 1930 m. iš trijų išsilydžiusių varpų nulietas vienas.

1915–1918 m. Rusijos valdžios verčiamas dėl Pirmojo pasaulinio karo jis buvo pasitraukęs į Rusiją, gyveno Caricyne (dabar – Volgogradas), kur buvo lietuvių tremtinių atstovas Pavolgyje, įkūrė Caricyne lietuvių pradžios mokyklą.

1918 m. grįžęs į Rozalimą, jis ėmėsi kurti vietinės valdžios struktūras, už tai bolševikų buvo persekiotas. Šalia klebono pareigų 1919–1929 m. jis buvo ir Rozalimo vidurinės mokyklos tikybos mokytojas bei kapelionas, 1925 m. vasario–liepos mėnesiais laikinai ėjo ir šios mokyklos direktoriaus pareigas. Nuo 1934 m. iki senatvės jis buvo Rozalimo valsčiaus tarybos narys. Jo iniciatyva Rozalime buvo pastatytas Nepriklausomybės paminklas.

K. Grinkevičius buvo visų Rozalime veikusių katalikiškų organizacijų steigėjas ir dvasios vadas, Sąjungos Vilniui vaduoti steigėjas ir narys, Rozalimo valsčiaus prieglaudos komiteto narys. Perdavus šią prieglaudą iš savivaldybės Šv. Vincento Pauliečio draugijai, klebonas visą laiką ėjo šios draugijos pirmininko pareigas.

1929 m. jis subūrė Didžiojo Lietuvos kunigaikščio Vytauto komiteto Rozalimo skyrių ir buvo jo pirmininkas. Jis buvo ir Rozalimo ugniagesių draugijos narys, už nuopelnus ugniagesybai apdovanotas "Artimui pagalbon" III laipsnio garbės ženklu.

Nuo 1935 m. sausio 1 d. jis liko šios parapijos altarista, keletą metų dar buvo altarista vikaras, aktyviai talkindamas pastoracijoje.

Senatvėje jis vertė ir leido religines knygas: apie bažnyčios ir šventųjų istorijas, krikščionišką vaikų auklėjimą, filosofinių veikalų. Dalis jos vertimų liko rankraščiuose.

Nuo 1940 m. kovo 1 d. K. Grinkevičiui už nuopelnus lietuvybei buvo paskirta 50 litų pensija. Jis buvo apdovanotas Lietuvos Ministrų kabineto ženklu už gerai atliktą gyventojų surašymą (1923 m.) bei Lietuvos Nepriklausomybės medaliu (1928 m.).

Mirė 1941 m. Rozalime (Pakruojo r.).

Išsamų K. Grinkevičiaus gyvenimo aprašymą jo 70-mečio proga 1937 m. paruošė ir paskelbė jo artimas bičiulis švietėjas Matas Grigonis.