Gimimo vieta kitų šaltinių duomenimis – Vardukšnių kaimas (Šeduvos parapija, Radviliškio r.).

Tėvai: Norbertas Zenkovičius (? – apie 1926) ir Aleksandra Pagužinskaitė-Zenkovičienė – bežemiai dvarininkai bajorai, žemdirbiai valstiečiai. Augo penkių vaikų šeimoje su trim broliais ir seserimi, buvo jauniausias. Broliai: Stasys Zenkevičius, Pranciškus Zenkevičius (1898–1981) – amatininkas malūnininkas ir Romas Zenkevičius, sesuo Jadvyga Zenkevičiūtė.

Apie 1910 m. tėvams nusipirkus vėjo malūną ir persikėlus, užaugo Pakalniškių (Kleboniškių) kaime (Dambavos parapija, Radviliškio r.). Tėvui anksti mirus, vaikus užaugino motina. Iki 1922 m. mokėsi Dambavos pradžios mokykloje, 1922–1929 m. baigė Panevėžio lenkų gimnaziją. 1930–1935 m. studijavo Kauno kunigų seminarijoje, 1931–1935 m. – ir Kauno Vytauto Didžiojo universiteto Teologijos-filosofijos fakultete. 1934 m. kovo 17 d. buvo įšventintas subdiakonu.

1935 m. birželio 15 d. Kauno arkikatedroje Kauno arkivyskupas Juozapas Skvireckas įšventino F. Zenkevičių kunigu. Kartu šventimus priėmė jo studijų draugai Jonas Bagdonas, Jonas Ragauskas, Juozas Ražanskas, Alfonsas Jarašiūnas, Aleksandras Masaitis, Jonas Petrėnas ir kiti dvasininkai.

1935–1936 m. jis trumpai tarnavo vikaru Aleksandravėlėje (Rokiškio r.), 1936–1940 m. buvo vikaras Zarasuose, kur talkino klebonui Juozapui Mazūrai, 1940–1942 m. – Smilgiuose (Panevėžio r.), 1942 m. nuo birželio iki spalio pabaigos – Ramygaloje (Panevėžio r.), talkindamas klebonui Ignotui Labanauskui.

1942–1947 m. F. Zenkevičius buvo Lėno (Ukmergės r.) Šv. Antano Paduviečio bažnyčios kuratas. 1945 m. rudenį jis kelias savaites laikinai ėjo Leliūnų (Utenos r.) Šv. Juozapo parapijos administratoriaus pareigas. Lėne sovietų valdžios buvo įtartas ryšiais su Lietuvos partizanais – neva palaikantis ryšį su Juozo Krikštaponio (1912–1945) vadovaujamos Vyčio apygardos kovotojais ir porą metų po altoriumi įrengtoje slėptuvėje globojęs partizaną Kostą Miškinį. Plintant kaltinimams, vyskupo jis skubiai iškeltas iš Lėno.

1947–1951 m. F. Zenkevičius buvo Kriklinių (Pasvalio r.) Švč. Mergelės Marijos Apsilankymo parapijos klebonas. Čia okupacinė valdžia jį kaltino globojant Petro Tamošiūno partizanų būrį, 1950 m. dvasininkas buvo suimtas, bet netrukus, neįrodžius kaltės, paleistas.

1951–1968 m. jis tarnavo Kriaunų (Rokiškio r.) Dievo Apvaizdos parapijos administratoriumi.

Paskirtas 1968 m. lapkričio 21 d. ir persikėlęs 1969 m. pradžioje, pasikeitęs parapijomis su Petru Adomoniu, 1969–1974 m. F. Zenkevičius buvo Burbiškio (Anykščių r.) Švč. Jėzaus Širdies parapijos klebonas. 1973 m. vasarą patyręs insultą ir likęs paralyžiuotas, dėl silpstančios sveikatos šių pareigų jis turėjo atsisakyti.

Nuo 1974 m. gegužės 12 d. iki gyvenimo pabaigos, F. Zenkevičius gyveno savo namelyje Zarasuose kaip šios parapijos altarista, talkino pastoracijoje.

Jis pasižymėjo muzikalumu, puikiu balsu, buvo tenoras, mėgo griežti smuiku.

Mirė 1979 m. liepos 27 d. Vilniuje ligoninėje. Palaidotas Zarasų bažnyčios šventoriuje. Kapą ženklina pilko akmens paminklas-kryžius su nykstančiu portretiniu atvaizdu ir postamente iškaltais įrašais: "A+A / Kun. Feliksas / Zenkevičius / 1909.VI.11–1979.VII.27 / Viešpatie, Jėzau, savo gyvenimo kančias / Tau aukoju! / Galinga Dievo ranka / paguldė mane čia. / Būk pasirengęs, / guldys ir tave! / Reguiescat in pace!".