Gimimo data pagal naująjį kalendorių – 1914 m. gruodžio 21 d.

Tėvai: Jonas, Ksavero, Velička (1866–1941) ir Marijona Jurkštaitė-Veličkienė (1881 – po 1941) iš Šeimyniškėlių – valstiečiai žemdirbiai. Buvo pirmas vaikas antrojoje tėvo, likusio našliu, šeimoje. Brolis Kazimieras Velička (1916 – po 1941), seserys Marijona Veličkaitė (1917 – po 1941) ir Ona Veličkaitė (1919 – po 1941).

1914 m. gruodžio 11 d. Anykščių bažnyčioje jį pakrikštijo klebonas Jonas Vodopalas, krikštatėviai buvo Antanas Velička ir Anelė Jurkštaitė.

Baigė Anykščių pradžios mokyklą, 1926–1930 m. baigė Anykščių vidurinę mokyklą. Mokyklos direktoriaus Mato Grigonio buvo pripažintas geriausiu 1930-ųjų metų laidos mokiniu. 1930–1932 m. baigė 6 klases Ukmergės gimnazijoje.

J. Velička buvo mobilizuotas į tarnybą Lietuvos kariuomenėje, mokėsi Karo mokykloje Kaune.

1934–1937 m. baigė Kėdainių aukštesniąją kultūrtechnikos mokyklą, įgijo kultūrtechniko specialybę.

1937–1940 m. J. Velička dirbo kultūrtechniku Marijampolės, Šakių ir Vilkaviškio apskrityse.

1940–1944 m. jis studijavo Kauno universiteto Hidrotechnikos-melioracijos skyriuje, įgijo inžinieriaus hidrotechniko išsilavinimą.

1945–1950 m. jis dirbo Lietuvos SSR Žemės ūkio ministerijos melioracijos valdyboje inžinieriumi, buvo vyriausiasis inžinierius. 1950–1956 m. jis buvo Vyriausiosios melioracijos valdybos prie Lietuvos Ministrų tarybos viršininko pavaduotojas, 1956–1958 m. – šios valdybos viršininkas.

1958–1960 m. jis dirbo Lietuvos SSR žemės ūkio ministro (Vytauto Vazalinsko) pavaduotoju, 1960–1964 m. – susivienijimo "Lietuvos žemės ūkio technika" pirmininko (Albino Zorsko) pavaduotoju.

Nuo 1964 m. spalio 28 d. iki 1965 m. spalio 21 d. jis buvo  Valstybinio melioracijos komiteto prie Lietuvos SSR Ministrų tarybos pirmininkas. Pertvarkius šį komitetą į ministeriją, nuo 1965 m. spalio 21 d. iki 1984 m. gruodžio 25 d. J. Velička buvo Lietuvos SSR melioracijos ir vandens ūkio ministras, kol išėjo į pensiją.

Jam vadovaujant Lietuvos melioracijos sistemai, buvo nudrenuotas ir sukultūrintas 1-asis (1970 m.) ir 2-asis (1978 m.) milijonas hektarų Lietuvos laukų ir iš esmės baigtas pirmasis melioracijos darbų etapas. Jis organizavo hidrotechnikų rengimo materialinės bazės plėtrą, Lietuvos žemės ūkio akademijos Hidromelioracijos fakulteto naujų pastatų statybas.

1960–1967 m. jis buvo ir Žemės ūkio mokslinės-techninės draugijos pirmininkas, nuo 1967 m. – šios draugijos pirmininko pavaduotojas.

Nuo 1978 m. jis aktyviai rėmė Arklio muziejaus Niūronyse (Anykščių r.) kūrimo idėją ir skatino jo komplekso plėtrą. Jo rūpesčiu buvo nutiestas asfaltuotas kelias nuo Anykščių į Niūronis, įrengtas Žirgo takas.

Nuo 1966 m. iki gyvenimo pabaigos jis buvo renkamas kandidatu į Lietuvos komunistų partijos Centro komiteto narius. 1967–1985 m., iki gyvenimo pabaigos, jis buvo Lietuvos SSR Aukščiausiosios tarybos deputatas.

J. Veličkai buvo suteikti Lietuvos SSR nusipelniusio inžinieriaus (1964 m.) ir SSRS nusipelniusio melioratoriaus (1983 m.) garbės vardai. Jis buvo apdovanotas Lietuvos SSR valstybine premija (1978 m.).

Buvo vedęs, žmona Izabelė Veličkienė (1917–2010).

Mirė 1985 m. gruodžio 30 d. Vilniuje. Palaidotas Vilniaus Antakalnio kapinėse sovietinių pareigūnų memoriale šeimos kape. Kapą ženklina skulptūrinis portretas memorialo sienelėje ir kapavietę dengia pilko šlifuoto akmens plokštės ir juodo šlifuoto akmens plokštė su iškaltu įrašu: "Jonas / Velička / 1914 1985 / Izabelė / Veličkienė / 1917 2010".

J. Veličkos pavardė 1996 m. buvo įrašyta į Lietuvos žemės ūkio universiteto Vandens ūkio ir žemėtvarkos fakulteto Garbės knygą tarp pirmųjų 17 fakultetui nusipelniusių asmenų.