Tėvai: Antanas Žekonis ir Julijona Baltaduonytė-Žekonienė (1887–1969) – tarnautojai. Buvo vienintelis vaikas šeimoje.

1930 m. spalio 17 d. Anykščių bažnyčioje jos vikaras Kazimieras Mozūras pakrikštijo jį Simono Mataušo vardais.

1950 m. baigė Anykščių vidurinę mokyklą 7-ojoje jos laidoje.

Mokykliniais metais S. Žekonis aktyviai sportavo, buvo universalus sportininkas. 1949 m. jis buvo Anykščių miesto futbolo komandos vartininkas, 1947–1950 m. – mokyklos ir Anykščių miesto krepšinio rinktinės narys, atstovavo ir miesto tinklinio komandai. Kaip Anykščių miesto lengvosios atletikos komandos narys 1949 m. jis dalyvavo IV respublikinėje moksleivių spartakiadoje ir 5 km sportinio ėjimo distancijoje iškovojo 3-ąją vietą.

1950–1954 m. S. Žekonis studijavo Kauno kūno kultūros institute, įgijo kūno kultūros mokytojo ir fechtavimo trenerio išsilavinimą. Studijuodamas jis toliau sportavo, jo fechtavimo treneris buvo Vytautas Mykolas Kalmantas.

1954–1955 m. S. Žekonis dirbo Trakų rajono Vykdomojo komiteto Kūno kultūros ir sporto komiteto pirmininku. 1955 m. jis baigė pirmuosius SSRS šiuolaikinės penkiakovės kursus, 1955–1956 m. dirbo Sporto draugijos "Spartakas" Vilniaus miesto taryboje treneriu instruktoriumi.

1956–1990 m. S. Žekonis buvo Vilniaus vaikų ir jaunių sporto mokyklos, Vilniaus šiuolaikinės penkiakovės ir jojimo sporto mokyklos šiuolaikinės penkiakovės treneris, kol išėjo į pensiją.

Dirbdamas jis toliau sportavo. S. Žekonis dalyvavo 1955 m. Rygoje vykusiame Lietuvos šiuolaikinės penkiakovės čempionate ir tapo čempionu. Lietuvos sporto istorijoje jis yra pirmasis Lietuvos šiuolaikinės penkiakovės čempionas.

Jis dar dukart buvo Lietuvos šiuolaikinės penkiakovės čempionas (1956 ir 1959 m.), tapo Pabaltijo ir Baltarusijos spartakiados šiuolaikinės penkiakovės varžybų nugalėtoju (1957 m.), Pabaltijo spartakiados šiuolaikinės penkiakovės varžybose iškovojo 2-ąją vietą (1957 m.).

1956–1959 m. jis buvo sąjunginės laisvanoriškosios sporto draugijos "Spartakas" šiuolaikinės penkiakovės rinktinės narys. 1956 ir 1959 m. kaip Lietuvos šiuolaikinės penkiakovės rinktinės narys jis dalyvavo I ir II SSRS Tautų spartakiadose.

Baigęs sportininko karjerą, S. Žekonis kaip treneris parengė Lietuvos šiuolaikinės penkiakovės rinktinę dalyvauti III SSRS Tautų spartakiadoje (1963 m.) ir su ja užėmė 2-ąją komandinę vietą.

Treniruodamas penkiakovininkus, jis parengė 12 SSRS sporto meistrų, tarp jų – 5 Lietuvos šiuolaikinės penkiakovės čempionus: Stasį Šaparnį (1961, 1962, 1963 m.), Gerimantą Narkų (1964 m.), K. Dobilą (1965 m.), Jurijų Moskvičiovą (1967 m.) ir A. Mikutį (1973, 1977 m.). Jo išugdytas ir 1958–1963 m. treniruotas S. Šaparnis ilgą laiką buvo Sovietų Sąjungos šiuolaikinės penkiakovės rinktinės narys, tapo pasaulio šiuolaikinės penkiakovės čempionu (1969 m.) ir Meksiko olimpinių žaidynių (1968 m.) vicečempionu.

S. Žekonis buvo SSRS sporto meistras (1957 m.), jam buvo suteiktas Lietuvos nusipelniusio trenerio garbės vardas (1981 m.). Lietuvos šiuolaikinės penkiakovės 55-mečio proga jis buvo apdovanotas Lietuvos šiuolaikinės penkiakovės federacijos pirmojo laipsnio ordinu ir Kūno kultūros ir sporto departamento plakete (2010 m.). Jo biografija skelbiama Lietuvos sporto enciklopedijoje.

Buvo vedęs, žmona Genė Žekonienė (1933–2016).

Mirė 2011 m. balandžio 10 d. Švenčionėliuose (Švenčionių r.). Palaidotas Vilniaus Sudervės kapinėse šeimos kape prie motinos (15 sektorius, 2 eilė, 3 kapas). Kapą ženklina pilkai rusvo akmens paminklas-stela su iškaltu įrašu: "Žekoniai / Julija / 1887–1969 / Simonas / 1930–2011 / Genė / 1933–2016".