Seneliai: Alfonsas Lukoševičius (1914–2000) – gydytojas pediatras ir Rozalija Kuliešaitė-Lukoševičienė (1913–1982) – gydytoja odontologė. Tėvai: Valentinas Lukoševičius (g. 1951 m.) – pedagogas, istorijos ir kūno kultūros mokytojas, sporto organizatorius, ir Birutė Paradnevičiūtė-Lukoševičienė (g. 1951 m.) – chemikė technologė. Brolis Valentinas Lukoševičius (g. 1976 m.) – visuomenės sveikatos magistras, vadybininkas, sportininkas krepšininkas.

1987–1999 m. baigė Anykščių Antano Vienuolio gimnaziją. 1999–2005 m. studijavo Vilniaus Gedimino technikos universitete, įgijo inžinieriaus bakalauro ir magistro išsilavinimą.

Studijuodamas T. Lukoševičius 2003 m. dirbo statybų įmonėje UAB "Kaminta" meistru, 2003–2005 m. buvo darbų vadovas.

Nuo 2005 m. jis buvo uždarosios akcinės bendrovės "Ligivus" technikos vadovas, paskui – komercijos direktorius.

T. Lukoševičius yra sportininkas krepšininkas, jis pradėjo žaisti ir treniruotis paskatintas tėvo  Valentino Lukoševičiaus, kuris buvo pirmasis treneris. Mokydamasis vidurinėje mokykloje, 1998–1999 m. jis žaidė reprezentacinėje rajono krepšinio komandoje "Puntukas", su šia komanda Lietuvos krepšinio "A" lygoje laimėjo sidabro medalį. 1998 m. kaip "Puntuko" komandos žaidėjas ir kandidatas į Lietuvos jaunių rinktinę ji dalyvavo populiariausių Anykščių rajono sportininkų rinkimuose, buvo kandidatų sąrašo narys.

Studijuodamas T. Lukoševičius 1999–2005 m. toliau žaidė Anykščių rajono vyrų krepšinio komandoje "Puntukas", "Puntukas-Jarimpeksas", kartu su šia komanda Lietuvos krepšinio "B" lygoje 2002–2003 m. sezone pelnė sidabro medalį ir buvo apdovanotas kaip rezultyviausių lygos žaidėjų penketuko narys, užėmęs penktąją vietą.

2005–2007 m. T. Lukoševičius žaidė Utenos "Juventus" krepšinio komandoje ir su ja Lietuvos krepšinio "B" lygoje pelnė bronzos medalį (2006 m.) bei sidabro medalį (2007 m.).

Nuo 2007 m. iki šiol T. Lukoševičius yra Vilniaus krepšinio sąjungos žaidėjas (ūgis 198 cm, svoris 99 kg), rungtyniauja lengvojo krašto ir sunkiojo krašto pozicijose. 2007–2010 m. jis žaidė Lietuvos krepšinio "A" lygoje rungtyniavusioje Vilniaus "Martono" komandoje ("Erama-Martonas" – 2007–2008 m., "Martonas" – 2008–2009 m. ir "Martonas-Ego Forte" – 2009–2010 m.), su šia komanda žaidė ir Vilniaus krepšinio sąjungos taurės varžybose (2010 m.).

2010–2011 m. jis žaidė komandoje "siaureslietuva.lt-LKSK" ir su ja laimėjo Lietuvos krepšinio "A" lygos sidabro medalį, atstovavo šiai komandai Vilniaus krepšinio sąjungos taurės varžybose (2011 m.).

2009–2012 m. jis taip pat atstovavo Molėtų vyrų krepšinio komandai "Ežerūnas-Karys" ir su ja dukart tapo Regionų krepšinio lygos čempionu (2010 ir 2011 m.). 2014–2015 m. sezone jis buvo Molėtų "Ežerūno" komandos žaidėjas.

Kaip Lietuvos krepšinio "A" lygos rinktinės narys T. Lukoševičius žaidė 2010 m. "Žvaigždžių dienos" rungtynėse.

T. Lukoševičius yra ir Lietuvos kariuomenės krepšinio rinktinės narys. Šios rinktinės sudėtyje 2010 m. jis dalyvavo kariškių pasaulio čempionate Pietų Korėjoje, NATO šalių kariškių čempionate Belgijoje ir pelnė sidabro medalius.

Laisvalaikiu talkina tėvams senelių sodyboje.