Baigė keturių klasių gimnazijos kursą ir 1904 m. išlaikė egzaminus Mintaujos (dabar – Jelgava, Latvija) gimnazijoje. 1906–1911 m. studijavo Kauno Žemaičių kunigų seminarijoje, 1910 m. lapkričio 28 d. buvo įšventintas diakonu.

1911 m. birželio 5 d. Žemaičių vyskupas Gasparas Cirtautas įšventino J. Šinkūną kunigu. Kartu šventimus gavo Stanislovas Butrimas, Mykolas Jusys, Dominykas Dundulis, Konstantinas Kazakevičius, Antanas Tvarijanavičius ir kiti kunigai.

1911–1913 m. jis tarnavo vikaru Anykščiuose, talkino klebonui Juozapui Vembrei, kol 1913 m. vasarą buvo iškeltas.

1913–1914 m. J. Šinkūnas buvo Panemunio (Rokiškio r.), 1914–1918 m. – Kamajų (Rokiškio r.) vikaras. Kamajuose jis pasižymėjo kaip aktyvus švietėjas, net ir karo metais organizavęs vaikų ir jaunimo mokymą. Jo iniciatyva apie 20 parapijos kaimų buvo atidarytos ir metus veikė pradžios mokyklos, tik vėliau, pritrūkus kvalifikuotų mokytojų, jos sunyko. J. Šinkūnas įkalbinėjo ūkininkus leisti savo vaikams siekti mokslo, ypač akcentavo gimtosios kalbos mokymosi svarbą, pats lavino mokytojus. Vikaras taip pat organizavo Kamajuose vakarinius kursus ūgtelėjusiam jaunimui šviesti.

1919 m. jis trumpai ėjo Baltriškių (Zarasų r.) Šv. Kazimiero bažnyčios kurato pareigas.

1919–1934 m. J. Šinkūnas tarnavo Želvoje (Ukmergės r.), nuo 1922 m. buvo Želvos Šv. Ignaco Lojolos parapijos klebonas – pirmasis tokias pareigas ėjęs dvasininkas apie 1922 m. įsteigtoje parapijoje.

1934–1936 m., iki gyvenimo pabaigos, jis tarnavo Kurtuvėnų (Šiaulių r.) Šv. apaštalo Jokūbo bažnyčios klebono vikaru adjutoriumi.

Mirė 1936 m. gegužės 9 d. Kurtuvėnuose (Šiaulių r.).