Tėvai: Aleksandras Jakševičius (1844–1936) – amatininkas, dailininkas skulptorius, ir Marija Guzinaitė-Jakševičienė. Brolis Vincentas Jakševičius (1873–1936) – dailininkas skulptorius, dekoratorius.

1895 m. balandžio 9 d. jis buvo pakrikštytas Panevėžio Šv. Petro ir Povilo parapijos bažnyčioje, krikštatėviai buvo Juozapas Betkauskas ir Sofija Dobrovolskaitė.

1907–1910 m. mokėsi Panevėžio pradžios mokykloje.

Iki 1915 m. B. Jakševičius dirbo pagalbininku pas vyresnįjį brolį Vincentą.

1915 m. jis buvo mobilizuotas į tarnybą carinės Rusijos kariuomenėje, tris mėnesius tarnavo 2-ajame Sibiro statybos batalione Čitoje ir Brianske (Rusija). Vėliau dėl ligos iš karinės tarnybos jis buvo paleistas ir iki 1918 m. gyveno Nižniaja Krynkos miestelyje (buv. Jekaterinoslavo gubernija, dab. Donecko sr., Ukraina), dirbo statybose.

1918 m. grįžęs iš Rusijos į Lietuvą, B. Jakševičius 1918–1922 m. gyveno Švėkšnoje (Šilutės r.) ir kitose Lietuvos vietose, dažnai kraustydamasis ir dirbdamas vis kitur.

1919 m. sausio 11 d. jis išėjo savanoriu į Lietuvos kariuomenę ir tarnavo Panevėžio batalione, išaugusiame į 4-ąjį pėstininkų Lietuvos Karaliaus Mindaugo pulką, eiliniu. Jau pirmąją tarnybos dieną kaip turintis karybos patirties jis buvo paskirtas Panevėžio srities apsaugos 2-ojo būrio viršininku. 1919 m. šio pulko sudėtyje jis dalyvavo mūšiuose bolševikų fronte. B. Jakševičius tarnavo iki 1920 m. kovo 8 d., kol buvo demobilizuotas kaip atsargos grandinis.

1922–1925 m. B. Jakševičius gyveno ir dirbo Panevėžyje bei Rietave. Sukūręs šeimą, nuo 1925 m. jis persikėlė į žmonos tėviškę Kavarską (Anykščių r.) ir ten gyveno iki 1945 m., vis išvykdamas dirbti į Panevėžį ar į Švėkšną.

1930 m. jam buvo pripažintas Lietuvos kariuomenės savanorio statusas, jis buvo apdovanotas Savanorio kūrėjo medaliu. Kaip Lietuvos karys savanoris 1932 m. jis neatlygintinai gavo žemės sklypą Aukštųjų Svirnų dvare (Anykščių r.).

Gyvendamas Švėkšnoje, Panevėžyje ir Kavarske, jis dirbo skulptoriumi ir dekoratoriumi, kūrė antkapinius paminklus. Skulptoriaus B. Jakševičiaus kūriniai puošia Taujėnų (Ukmergės r.) ir Rietavo bažnyčias. Jo skulptūrų yra Troškūnuose, Kavarske, Burbiškyje, Upytėje (Panevėžio r.), Raguvoje (Panevėžio r.), Pasvalyje.

Žymesni B. Jakševičiaus skulptūriniai paminklai:

1929–1930 m. – Panevėžio katedros centrinio altoriaus skulptūros (su broliu Vincentu Jakševičiumi ir jo sūnumis Silvanu ir Adomu).

1931 m. – skulptūrinė kompozicija "Šv. Antanas Paduvietis", skirta Šv. Antano mirties 700-osioms metinėms atminti, Troškūnų (Anykščių r.) bažnyčios šventoriuje.

1937 m. – skulptūra "Angelas" Troškūnų (Anykščių r.) kapinėse ant Irenos Bžeskytės (1930–1936) kapo.

1941 m. – paminklas pirmajam žuvusiam Birželio sukilimo dalyviui Klemensui Peldžiui Kavarsko kapinėse.

1943 m. – "Kristaus Karaliaus" skulptūra, skirta parapijos 10-mečiui atminti, Burbiškio (Anykščių r.) bažnyčios šventoriuje, priešais dvaro rūmus (uždarius rūmuose veikusią bažnyčią, perkelta į Burbiškio kapines).

Po Antrojo pasaulinio karo B. Jakševičius nuolat išgyveno sovietinės valdžios persekiojimus už tai, kad buvo Lietuvos kariuomenės savanoris, ir už pastatytą paminklą Birželio sukilimo dalyviui K. Peldžiui. Po to, kai buvo sunaikintas jo naujausias kūrinys – Kristaus, nešančio kryžių, skulptūra Repšėnuose pas Kaplerius, 1945 m. liepą B. Jakševičius pasitraukė į pogrindį ir įsijungė į partizaninę kovą, pasirinko slapyvardžius Šaltekšnis ir Dzedziūnia. Iš pradžių jis priklausė Antano Juzakėno-Liūto partizanų būriui, paskui buvo Antano Žilio-Žaibo būrio kovotojas, vyriausias amžiumi tarp laisvės gynėjų.

1948 m. rugpjūčio 17 d. Miknevičiaus miške netoli Raguvos (Panevėžio r.), šalia Jurgio Šniukštos įrengto bunkerio, kurį tuo metu saugojo, jis buvo paimtas į nelaisvę, kalintas Ukmergėje. 1948 m. gruodžio 25 d. Ypatingasis pasitarimas jį nuteisė pagal Rusijos federacijos Baudžiamojo kodekso 58 str. 1a ir 11 dalis 25 metams laisvės atėmimo sustiprinto režimo kalėjime. 1949–1957 m. B. Jakševičius buvo kalinamas Ozerlage (Irkutsko sritis, Sibiras, Rusija), 1957 m. spalio 17 d. perkeltas į Dubravlagą (Mordvija, Rusija). Lageriuose, prižiūrėtojų paragintas, jis kūrė skulptūrinius portretus. Lageryje jo išdrožti šachmatai su prižiūrėtojų galvomis dabar eksponuojami Kauno IX forto muziejuje.

1963 m. rugpjūčio 17 d. B. Jakševičius buvo išleistas iš lagerio be teisės grįžti gyventi į Lietuvą. Vis dėlto nelegaliai grįžęs į Lietuvą, B. Jakševičius glaudėsi Panevėžyje pas gimines, lankydavo savo vaikus Kaune, Ukmergėje, Širvintose, kol pagaliau 1978 m. gavo registracijos žymą, suteikusią teisę gyventi Kaune.

Iki senatvės jis tapė šventųjų paveikslus, drožinėjo lazdas.

Amžininkų prisiminimuose išliko kaip gražios išvaizdos ir išsilavinęs žmogus, laisvai kalbėjęs vokiečių, prancūzų, lenkų ir rusų kalbomis.

Susituokė 1925 m. lapkričio 28 d. Kavarsko bažnyčioje, žmona Elžbieta Striogaitė-Jakševičienė (1900–1932). Liko našlys, užaugino keturis vaikus. Vaikai: Irena Jakševičiūtė-Sabūnienė (1926–2003) – pedagogė, laisvės gynėja partizanų ryšininkė, tarnautoja, Birutė Jakševičiūtė-Grebnickienė (1928–2016) – laisvės gynėja partizanų ryšininkė, Vytautas Jakševičius (1930–1982) – buhalteris, tautodailininkas skulptorius, ir Algimantas Jakševičius (1931–1991) – menininkas.

Mirė 1979 m. rugpjūčio 13 d. Kaune. Palaidotas Kavarsko kapinėse šeimos kape šalia tėvo, žmonos ir jos motinos. Kapą ženklina paminklinė kompozicija – jo paties sukurta Švč. Mergelės Marijos balta betoninė statula, pastatyta ant žmonos kapo, su įrašu postamente: "Striogienė Uršulė / 1863–1953 / Jakševičienė Elžbieta / 1900–1932 / Jakševičius Aleksandras / 1844– / Liūdi anūkai" ir kuklus akmeninis paminklas-stela su įrašu: "Jakševičiai / Benjaminas / Aleksandras / Birutė".

1990 m. gegužės 2 d. B. Jakševičius buvo reabilituotas (po mirties) kaip nepagrįstai patyręs sovietines represijas.

Panevėžio kraštotyros muziejuje buvo surengta paroda "Skulptorių Jakševičių kūryba" (2016 m.), pristačiusi ir B. Jakševičiaus sakralinius kūrinius.

I. Jakševičiūtės-Sabūnienės prisiminimai apie tėvą B. Jakševičių publikuoti Stasės Kisielienės sudarytame rinkinyje "Kaip nepamiršti..." (2002 m.).