Tėvai: Vincentas Šukevičius (1854–1941) ir Uršulė Raudonikytė-Šukevičienė (apie 1864 – 1940) – žemdirbiai ūkininkai, turėjo 14 dešimtinių žemės. Sesuo Apolonija Šukevičiūtė-Baltranienė (1900 – po 1940), broliai: Edvardas Šukevičius (1887–1960) – teisininkas, politikas, emigrantas Amerikoje, Petras Šukevičius (1890 – iki 1940), Jurgis Šukevičius (1893 – po 1941), Pranciškus Šukevičius (1895–1895) – mirė kūdikystėje, Stanislovas Šukevičius-Stanley Sukevicius (1896 – iki 1940) – emigrantas Amerikoje. Dėdė (motinos brolis) Petras Raudonikis (1869–1950) – mokslininkas vaistininkas, pusbrolis (motinos brolio sūnus) Antanas Raudonikis (1899–1953) – kariškis, laisvės gynėjas, giminaitis (antrosios eilės pusbrolis) Antanas Žukauskas-Vienuolis (1882–1957) – vaistininkas ir rašytojas.

1885 m. birželio 9 d. Anykščių bažnyčioje Donato vardu jį pakrikštijo vikaras Pranciškus Lukšas, krikštatėviai buvo Adomas Raudonikis ir Uršulė Šukevičiūtė.

Vaikystėje mokėsi namuose: skaityti išmokė motina, rašyti mokėsi savarankiškai. 1897–1901 m., dėdei P. Raudonikiui padedant, baigė keturias klases Liepojos (Latvija) gimnazijoje. Ten įsitraukė į visuomeninę ir politinę veiklą, dalyvavo Jono Biliūno suburtame slaptame gimnazistų būrelyje.

1901–1907 m. D. Šukevičius gyveno ir dirbo Maskvoje (Rusija), iš pradžių buvo mokinys vaistinėse, o baigęs mokinio praktiką ir išlaikęs vaistininko padėjėjo egzaminus tapo farmacininku, dirbo vaistininko padėjėju.

1905 m. revoliucijos metu kartu su kitais vaistinės mokiniais jis statė barikadas Maskvos gatvėse.

1907–1910 m. D. Šukevičius buvo išvykęs į Šiaurės Kaukazą ir dirbo Vladikaukazo (Rusija) vaistinėse.

Privačiai pasiruošęs, 1910 m. jis grįžo į Maskvą laikyti brandos atestato egzaminų, bet jų neišlaikė dėl nustatytų kilmės apribojimų – buvo kilęs ne iš bajorų. Likęs Maskvoje, jis dirbo V. K. Fereino vaistinėje naktiniu budėtoju ir studijavo Maskvos universitete farmaciją. Kartu 1912 m. jis baigė Masažo ir švediškosios gydomosios higienos gimnastikos mokyklą.

1917 m. baigęs studijas ir įgijęs vaistininko išsilavinimą, D. Šukevičius išlaikė ir brandos atestato egzaminus. 1917–1919 m. jis tęsė studijas, studijuodamas mediciną, tačiau studijas nutraukė ir 1919 m. pabaigoje grįžo į Lietuvą.

Apsigyvenęs Kaune, 1920–1922 m. D. Šukevičius dirbo Sveikatos departamento Farmacijos skyriuje revizoriumi.

Gavęs leidimą ir padedant Amerikoje gyvenusiam broliui, 1922 m. jis atidarė nuosavą vaistinę Joniškyje.

1923–1925 m. jis tęsė medicinos studijas Lietuvos universitete Kaune, bet dėl pablogėjusios sveikatos turėjo jas nutraukti, likus tik praktikai, ir išsilavinimo neįgijo.

1925–1940 m. D. Šukevičius gyveno Joniškyje ir buvo Joniškio vaistinės savininkas, provizorius.

1940 m. jo vaistinė buvo nacionalizuota, bet D. Šukevičius liko dirbti jos vedėju.

Jis buvo Lietuvos farmaceutų sąjungos narys, Vaistininkų draugijos narys ir šios draugijos valdybos narys, iki 1932 m. ėjo draugijos sekretoriaus pareigas.

Po Antrojo pasaulinio karo persikėlęs į Vilnių, D. Šukevičius dirbo Lietuvos Vyriausiojoje farmacijos valdyboje inspektoriumi, kol išėjo į pensiją.

Apie 1926 m. D. Šukevičius įsigijo ir iki 1940 m. valdė taip vadinamą "Okuličiūtės dvarelį" Anykščiuose, ant Šventosios kranto. Šiame dvarelyje jis įkurdino savo tėvus, senatvėje persikėlusius iš kaimo į miestelį.

Jis restauravo pastatą, suteikdamas jam dabartinę išvaizdą, atnaujino prie rūmų XIX a. įrengtą parką su išlikusiais retų rūšių medžiais ir dekoratyviniais krūmais. Ši sodyba papuošė Anykščių miestą ir buvo ryškus XX a. pirmosios pusės kraštovaizdžio akcentas. Dalis parko nukentėjo ir buvo išplauta, kai ant Šventosios buvo įrengta užtvanka ir pastatytas vandens malūnas.

D. Šukevičius artimai giminiavosi ir bendravo su rašytoju ir vaistininku Antanu Žukausku-Vienuoliu.

Buvo vedęs, žmona Liudvika Skalskytė-Šukevičienė (1885–1976) – muzikos pedagogė, vokalo mokytoja. Vaikai: Tadas Mykolas Šukevičius (1920–1928) – mirė vaikystėje ir Gražina Šukevičiūtė-Fuksienė.

Mirė 1974 m. lapkričio 30 d. Vilniuje. Palaidotas Anykščių kapinėse.

Po Antrojo pasaulinio karo Šukevičių sodyba buvo suniokota, pastato vidus buvo išgriautas, ten veikė vilnų karšykla ir verpykla, veltinių dirbtuvėlė, paskui pastatas paverstas sandėliu – jame supilti grūdai, pristatytas raudonų plytų priestatas, subjaurojęs dvarelio stilių. 1955–2013 m. šiame dvarelyje buvo įsikūrusi Anykščių biblioteka, ten kiek laiko veikė ir kitos miesto įstaigos, dabar pastatas rengiamas restauracijai.

D. Šukevičiaus gyvenimas ir veikla pristatyta Reginos Stonkutės-Žukienės monografijoje "Lietuvos farmacija XX amžiuje" (leidinio "Lietuvos farmacija" III tomas, 2005 m.).