Tėvas Jurgis Narmontas – valstietis baudžiauninkas.

Mokėsi Telšių apskrities bajorų mokykloje, baigė 5 klases. 1851–1855 m. studijavo Varnių (Telšių r.) kunigų seminarijoje.

1855 m. pabaigoje J. Narmontas buvo įšventintas kunigu.

Nuvykęs 1855 m. gruodį, 1855–1856 m. jis jis buvo Pandėlio (Rokiškio r.) parapijos vikaras, vėliau tarnavo vikaru kitose Žemaičių vyskupijos parapijose. 1860–1861 m. pusantrų metų jis buvo Krakių (Kėdainių r.) vikaras, 1861–1862 m. irgi pusantrų metų – Nemakščių (Raseinių r.) vikaras.

Paskirtas apie 1867 m., iki 1880 m. ir vėliau J. Narmontas buvo Butkiškės (Raseinių r.) Šv. Jono Krikštytojo parapijos klebonas. Paskui iki 1887 m. jis tarnavo Ariogalos (Raseinių r.) Šv. arkangelo Mykolo parapijos klebonu.

1887–1899 m., iki gyvenimo pabaigos, J. Narmontas buvo Svėdasų (Anykščių r.) Šv. arkangelo Mykolo parapijos klebonas, 1893–1899 m. – ir Utenos dekanato dekanas. Svėdasuose jis ugdė vikarus: 1887–1891 m. – Juozapą Korsaką, 1891–1899 m. – Teofilį Nainį, 1897–1899 m. – Vincentą Velžį.

Jo iniciatyva buvo pertvarkyta Svėdasų bažnyčia, kad joje būtų erdviau tikintiesiems – išpjautos šoninės galerijos, pertvarkyti altoriai. Jis pakeitė bažnyčios langus, suremontavo Marikonių koplyčią. Po 1891 m. gaisro sudegus daugumai klebonijos ūkio pastatų, J. Narmontas atstatė dvi arklides ir tvartą, dar keletą pastatų.

1898 m. birželio 7–9 dienomis J. Narmontas Svėdasuose priėmė Žemaičių vyskupą Gasparą Cirtautą, kuris suteikė Sutvirtinimo sakramentą 3810 asmenų.

Amžininkų prisiminimuose liko kaip gyvulių, ypač arklių, mylėtojas ir augintojas.

Mirė 1899 m. birželio 6 d. (pagal metrikų įrašą) Svėdasuose (Anykščių r.). Palaidotas Svėdasų kapinėse šalia kitų kunigų. Kapą ženklina itališko marmuro paminklas su iškaltu įrašu: "A+A / Kun. Jurgis / Narmontas / Svėdasų klebonas / Utenos dzekonas / mirė 4 d. birželio 1899 m. / amžiaus 64 metų".