1876–1880 m. studijavo Kauno Žemaičių kunigų seminarijoje, kur jo moralinės teologijos ir homiletikos dėstytojas buvo Antanas Baranauskas.

1880 m. M. Vėžys buvo įšventintas kunigu.

1881–1883 m. jis buvo Pumpėnų (Pasvalio r.) parapijos vikaras, 1883–1887 m. – Utenos Kristaus Žengimo į dangų parapijos vikaras.

1887–1899 m. M. Vėžys buvo Skiemonių (Anykščių r.) Švč. Mergelės Marijos Aplankymo bažnyčios kuratas, Alantos parapijos kunigas filialistas.

1899–1907 m. jis tarnavo Balninkų (Molėtų r.) Šv. vyskupo Stanislovo parapijos klebonu, 1906–1907 m. pradėjo statyti naują Balninkų bažnyčią, bet buvo perkeltas į kitą parapiją, darbo nebaigęs. 1907–1914 m. jis buvo Panevėžiuko (Kauno r.) Nukryžiuotojo Jėzaus bažnyčios kuratas, kunigas filialistas.

Paskirtas 1914 m. pradžioje, 1914–1922 m. M. Vėžys buvo Labūnavos (Kėdainių r.) Dievo Apvaizdos parapijos klebonas. 1922 m. rudenį jis buvo paskirtas Krakių (Kėdainių r.) Šv. Kotrynos vienuolyno bažnyčios rektoriumi, bet netrukus iš šių pareigų dėl silpstančios sveikatos buvo atleistas.

1922–1925 m. M. Vėžys rezidavo Babtų (Kauno r.) parapijoje, tuo metu 1924–1925 m. beveik metus gydėsi Kaune, paskui 1925–1927 m., iki gyvenimo pabaigos, buvo Dusetų (Zarasų r.) parapijos altarista.

Iki senatvės jis aktyviai rėmė religinių organizacijų ir misijų veiklą, buvo Kunigo Jono Bosko saleziečių draugijos bendradarbis – pirmasis iš lietuvių kunigų, atsiliepęs į Saleziečių kvietimą burtis ir Lietuvoje. Paskutiniais gyvenimo metais M. Vėžys reguliariai rašydavo Vyriausiajam saleziečių rektoriui laiškus ir siųsdavo aukas.

Amžininkų prisiminimuose dvasininkas pasižymėjo geraširdiškumu, ramybe ir pamaldumu.

Mirė 1927 m. gruodžio 31 d. Dusetose (Zarasų r.). Palaidotas Dusetų bažnyčios šventoriuje. Kapą juosia aukšta metalinė tvorelė, jį ženklina pilko šlifuoto akmens paminklas-kryžius, jo postamente yra portretinė nuotrauka ir iškaltas įrašas: "A+A / Kun. / Mikalojus Vėžys / Gimė 1856 m. / Mirė 1927 m.".