Seneliai: Ipolitas Vilkončius (1927–2007) – miškininkas ir Angelė Sližytė-Vilkončienė (1928–2021) – pedagogė chemijos mokytoja. Tėvai: Stasys Šenavičius (1950–2005) – jūrininkas laivavedys ir Eglė Vilkončiūtė-Šenavičienė (g. 1950 m.) – pedagogė. Sesuo Šilė Šenavičiūtė (g. 1974 m.).

Augo Klaipėdoje, mokėsi Klaipėdos 22-ojoje vidurinėje mokykloje, 1995 m. baigė Klaipėdos "Vėtrungės" gimnaziją. 1995–2000 m. studijavo Klaipėdos universitete, įgijo politikos mokslų bakalauro išsilavinimą.

Nuo 2000 m. iki gyvenimo pabaigos A. Šenavičius dirbo Lietuvos muitinės sistemoje.

2000–2013 m. jis dirbo Klaipėdos teritorinėje muitinėje, eidamas įvairias pareigas, paskutiniais metais buvo Malkų įlankos jūrų uosto posto vyresnysis inspektorius. Tarnybos metu jis buvo komandiruojamas atlikti įvairias pareigas Europos Sąjungos misijose.

2006 m. A. Šenavičius buvo Europos Sąjungos pasienio paramos misijos Moldovoje ir Ukrainoje ekspertas. Nuo 2012 m. rugpjūčio 7 d. iki gyvenimo pabaigos jis buvo Europos Sąjungos teisės viršenybės misijos EULEX ekspertas Kosove.

Laisvalaikiu mėgo skaityti knygas, domėjosi politika, istorija, krepšiniu.

Buvo vedęs, žmona Vaida Šenavičienė. Sūnūs dvyniai Ugnius Šenavičius ir Rokas Šenavičius (g. 1999 m.).

Mirė 2013 m. rugsėjo 19 d. Mitrovicoje (Kosovas) – žuvo per ginkluotą užpuolimą netoli Zvečano miesto, atlikdamas tarnybines pareigas. Palaidotas Anykščių naujosiose kapinėse. Kapą ženklina paminklinė kompozicija: iš šlifuoto akmens luitų surinkta aukojimo taurė ir trys balti akmeniniai kryžiai virš jos, ant taurės puslankiu iškaltas įrašas: "Audrius / Šenavičius / 1978–2013". 

A. Šenavičius apdovanotas Vyčio Kryžiaus ordino Komandoro didžiuoju kryžiumi (po mirties, 2014 m.).

A. Šenavičiaus žūties vietoje Mitrovicoje (Kosovas) pastatyta akmenų mūro paminklinė stela, jos fasadinėje pilko šlifuoto akmens plokštėje iškaltas įrašas anglų kalba: "Here fell / Lithuanian Customs Officer / Audrius Šenavičius / 19th September 2013".