Tėvai: Juozapas Akvasauskas-Kvasauskas (apie 1863 – 1922) ir Salomėja Kazlauskaitė-Akvasauskienė-Kvasauskienė (1862–1939). Užaugo šešių vaikų šeimoje su dviem broliais ir trim seserimis, dar du broliai mirė vaikystėje. Broliai ir seserys: Mataušas Akvasauskas (1886–1889) – mirė vaikystėje, Ona Akvasauskaitė (1888 – po 1939), Uršulė Akvasauskaitė (1891 – po 1939), Marijona Akvasauskaitė (1893–?), Juozapas Akvasauskas (1899–?) – mirė vaikystėje, Antanas Akvasauskas-Kvasauskas (1901–1934) – amatininkas kirpėjas, Steponas Akvasauskas-Kvasauskas (1906 – po 1939).

Istorinė Akvasauskų giminės pavardė XX a. pradžioje pradėta trumpinti, palaipsniui visi šios šeimos nariai virto Kvasauskais.

1910 m. kartu su tėvais, broliais ir seserimis iš Anykščių persikėlė gyventi į Ukrainą, jaunystėje augo ir dirbo Jenakijeve, Zaporožės Kamenskoje, Dniepropetrovske ir Taganroge šachtininku bei fabrikų darbininku. Po 1917 m. spalio perversmo Rusijoje 1917–1918 m. jis buvo Raudonosios armijos kareivis, dalyvavo sovietų valdžios stiprinimo karine jėga operacijose.

1918 m. vasarą tarp kitų karo pabėgėlių, grįžtančių iš Rusijos, J. Kvasauskas-Kvasovskis kaip sovietų valdžios atstovas grįžo į gimtuosius Anykščius ir buvo vienas iš revoliucionierių, inicijavusių ir įvykdžiusių savivaldos griovimą, bolševikams užimant valdžią.

Dar tebesant vokiečių okupacinei valdžiai, jis pradėjo burti Anykščiuose žmonių susirinkimus, pasakodamas apie Rusijoje įvykusią revoliuciją, agituodamas perimti valdžią, už tai buvo vokiečių valdžios persekiojamas, suimtas.

1919 m. gruodį sudarius Anykščių karinį revoliucinį komitetą, kuris netrukus nušalino vietos gyventojų išrinktą Anykščių valsčiaus komitetą, J. Kvasovskis tapo šio karinio komiteto nariu, buvo atsakingas už darbo skyriaus veiklą ir karinius reikalus. Jis organizavo siaurojo geležinkelio veiklos atgaivinimą, sudarė sąlygas atnaujinti traukinių eismą Anykščių ruožu.

Jis buvo profesinių sąjungų kūrimo Anykščiuose iniciatorius, 1919 m. pradžioje tapęs pirmuoju Anykščių darbininkų profsąjungos pirmininku. J. Kvasovskis organizavo karinį būrį, kuris ėmėsi konfiskuoti dvaruose laikytas maisto atsargas ir pardavinėti jas varguomenei.

1919 m. gegužę nušalinus nuo valdžios Anykščių karinį revoliucinį komitetą ir atkūrus savivaldą, J. Kvasovskis pasitraukė į Rusiją, gyveno Maskvoje, mokėsi Maskvos Sverdlovo vardo marksizmo-leninizmo universitete. Kaip šios mokymo įstaigos kursantas jis dalyvavo I visos Rusijos darbininkų ir kazokų suvažiavime (1919 m.), II Kominterno kongrese, kituose masiniuose valdžios renginiuose.

Baigęs apmokymus, J. Kvasovskis trumpai dirbo partinį ir administracinį darbą Gomelyje (Baltarusija), Charkove (Ukraina) ir Jekaterinoslave (Rusija). Vėliau jis išėjo savanoriu į sovietinę kariuomenę, dalyvavo Rusijoje vykusio pilietinio karo fronte, kiek laiko dirbo čekistu sovietinio saugumo struktūrose, malšindamas pasipriešinimo sovietų valdžiai judėjimus Rusijoje ir Ukrainoje.

Demobilizuotas iš karinių stuktūrų, J. Kvasovskis toliau dirbo geležinkelio struktūrose, paskui studijavo Leningrado (dabar – Sankt Peterburgas, Rusija) autokelių institute, įgijo kelių inžinieriaus išsilavinimą.

Iki 1941 m. jis dirbo įvairiose Rusijos ir Vidurinės Azijos vietose administracinį darbą kelių infrastruktūros srityje.

Antrojo pasaulinio karo metais jis išėjo į kariuomenę ir dalyvavo mūšiuose fronte, buvo sunkiai sužeistas.

1944 m. vasarą, antrosios sovietinės okupacijos pradžioje, J. Kvasovskis-Kvasauskis pasiliko Lietuvoje ir buvo vienas iš kelių infrastruktūros valdymo institucijų kūrėjų. 1945 m. įsteigus Vyriausiąją kelių valdybą prie Lietuvos SSR Liaudies komisarų tarybos, 1945 m. gegužės 12 d. jis buvo paskirtas pirmuoju šios valdybos viršininku ir šias pareigas ėjo 1945–1960 m.

Petvarkius instituciją, nuo 1946 m. kovo 25 d. jis buvo Vyriausiosios kelių valdybos prie Lietuvos SSR Ministrų tarybos viršininkas, nuo 1953 m. birželio 29 d. – Lietuvos SSR kelių ir transporto ūkio ministerijos Vyriausiosios kelių valdybos viršininkas, nuo 1953 m. lapkričio 24 d. – Lietuvos SSR automobilių transporto ir plentų ministerijos Vyriausiosios kelių valdybos, nuo 1956 m. – Plentų valdybos viršininkas.

XX a. viduryje J. Kvasauskis organizavo karo metais sugriautų kelių ir tiltų atstatymą provincijos vietovėse, buvo gelžbetoninio tilto per Šventąją Anykščiuose statybos iniciatorius, vėliau dalyvavo šio tilto atidarymo iškilmėse. Nuo 1956 m., sujungus Plentų valdybą ir Vyriausiąją kelių valdybą, jis vadovavo visų Lietuvos teritorijoje buvusių kelių statybai ir eksploatavimui.

1960 m. vasario 15 d. jis baigė profesinę veiklą ir išėjo į pensiją, buvo Lietuvos SSR personalinis pensininkas.

Mirė 1970 m. Vilniuje. Palaidotas Vilniaus Antakalnio kapinėse (18 sektorius). Kapą ženklina pilko iškirstas granito luitas, jo šlifuotame fasado fragmente iškaltas įrašas rusų kalba: "I. I. Kvasovskij / 1898–1970".