Tėvas Vytautas Sinkevičius (g. 1925 m.) – žemdirbys. Augo su broliu.

Tėvams persikėlus, užaugo Šoveniuose (Anykščių r.).

1970 m. baigė Kavarsko (Anykščių r.) vidurinę mokyklą. 1970–1975 m. studijavo Kauno politechnikos instituto Cheminės technologijos fakultete, įgijo neorganinių medžiagų ir trąšų cheminės technologijos inžinieriaus technologo išsilavinimą.

1975 m. R. Sinkevičius buvo Kauno miesto komjaunimo komiteto instruktorius, 1975–1977 m. – šio komiteto skyriaus vedėjas. 1977 m. atsisakęs užimti komiteto pirmojo sekretoriaus pareigas, jis  buvo pašalintas iš darbo komjaunimo komitete dėl giminaičių dalyvavimo pokario rezistencijoje. 1977–1979 m. jis tarnavo karininku sovietinėje kariuomenėje Maskvoje (Rusija).

1980–1983 m. R. Sinkevičius dirbo Jonavos "Azoto" gamybinio susivienijimo pamainos viršininku, 1983–1993 m. buvo cecho, laboratorijos viršininkas.

1993–1997 m. jis buvo akcinės bendrovės "Achema" Naujovių ir pažangos centro direktoriaus pavaduotojas, 1997–2000 m. – šios bendrovės komercijos direktoriaus pavaduotojas-realizacijos skyriaus viršininkas.

2000–2004 m. R. Sinkevičius buvo Lietuvos Respublikos Seimo narys, Ekonomikos komiteto narys, Antikorupcinės komisijos pirmininko pavaduotojas, Socialdemokratinės koalicijos frakcijos narys.

2004–2008 m. jis buvo koncerno "Achemos grupė" vystymo direktorius, verslo vystymo departamento direktorius.

R. Sinkevičius buvo 2008–2012 m. Lietuvos Respublikos Seimo narys, išrinktas kaip Lietuvos socialdemokratų partijos atstovas Jonavos vienmandatėje rinkimų apygardoje. Jis buvo Seimo Ekonomikos komiteto narys, Atominės energetikos komisijos pirmininko pavaduotojas, Lietuvos socialdemokratų partijos frakcijos narys, Seimo delegacijos Lietuvos Respublikos Seimo ir Ukrainos Aukščiausiosios Rados Asamblėjoje narys, Parlamentinės grupės "Už demokratišką Baltarusiją" narys, Tarpparlamentinių ryšių su Kubos Respublika grupės pirmininko pavaduotojas, įvairių kitų grupių narys.

Jis dalyvavo 2012 m. Lietuvos Respublikos Seimo rinkimuose kaip Lietuvos socialdemokratų partijos remiamas kandidatas šios partijos sąraše ir vienmandatėje Jonavos apygardoje, pateko į antrąjį rinkimų turą ir jį laimėjo, buvo išrinktas 2012–2016 m. Seimo nariu.

Nuo 2012 m. gruodžio 13 d. iki 2016 m. gruodžio 13 d. R. Sinkevičius buvo Lietuvos Respublikos Vyriausybės narys – susisiekimo ministras.

2016 m. jis dalyvavo Lietuvos Respublikos Seimo rinkimuose kaip Lietuvos socialdemokratų partijos sąrašo kandidatas bei šios partijos kandidatas Jonavos rinkiminėje apygardoje. Vienmandatėje apygardoje jis pateko į antrąjį rinkimų turą ir buvo išrinktas 2016–2020 m. kadencijos Seimo nariu.

2016–2017 m. buvo Lietuvos Respublikos Seimo Lietuvos socialdemokratų partijos frakcijos narys, nuo 2017 m. yra Lietuvos socialdemokratų darbo frakcijos narys, nuo 2019 m. rugsėjo – ir šios frakcijos seniūnas. 2016–2017 m. jis buvo Aplinkos apsaugos komiteto narys, 2017–2020 m. Ekonomikos komiteto narys ir šio komiteto pirmininkas. Nuo 2016 m. jis yra ir Migracijos komisijos narys, įvairių tarpparlamentinių ryšių grupių narys.

Nuo 2020 m. birželio 30 d. iki 2020 m. gruodžio 11 d. R. Sinkevičius buvo Lietuvos Respublikos Vyriausybės narys – ekonomikos ir inovacijų ministras.

2020 m. jis dalyvavo Lietuvos Respublikos Seimo rinkimuose kaip Lietuvos socialdemokratų darbo partijos sąrašo kandidatas bei šios partijos kandidatas Jonavos rinkiminėje apygardoje. Vienmandatėje apygardoje jis pateko į antrąjį rinkimų turą, bet nebuvo išrinktas, į Seimą nepateko ir šis partijos sąrašas.

Nuo 1990 m. R. Sinkevičius buvo Lietuvos demokratinės darbo partijos narys, Jonavos skyriaus pirmininko pavaduotojas, šios partijos tarybos narys. Nuo 2001 m. jis buvo Lietuvos socialdemokratų partijos Jonavos rajono skyriaus narys, šio skyriaus pirmininkas. Jis buvo Socialdemokratų partijos tarybos narys, šios partijos pirmininko pavaduotojas.

1995–1997, 1997–2000, 2000–2003, 2003–2007 ir 2007–2008 m. jis buvo Jonavos rajono savivaldybės tarybos narys. 1995–2000 m. R. Sinkevičius buvo ir valdybos narys, 2000 m. – Ekonomikos, finansų, biudžeto ir verslo plėtros komiteto pirmininkas. 2008 m. jis pasitraukė iš Tarybos, nebaigęs kadencijos, kai buvo išrinktas Lietuvos Respublikos Seimo nariu.

R. Sinkevičius taip pat yra medžiotojų būrelio "Santaka" pirmininkas, Lietuvos ir Lenkijos prekybos rūmų valdybos narys.

Laisvalaikiu medžioja, dirba sode ar būna gamtoje. Moka anglų ir rusų kalbas.

Vedęs, žmona Ligita Sinkevičienė (g. 1958 m.) – inžinierė technologė, valstybės tarnautoja. Užaugino du vaikus: sūnus Mindaugas Sinkevičius (g. 1984 m.) – teisininkas, vadybininkas, savivaldos organizatorius, duktė Rūta Sinkevičiūtė (g. 1987 m.) – teisininkė.