Tėvai: Juozas Čaplinskas (1926–2010) – vairuotojas ir Bronislava Bertašiūtė-Čaplinskienė (1929–1998) – žemdirbė. Augo keturių vaikų šeimoje. Brolis ir seserys: Vytautas Čaplinskas (g. 1956 m.) – veterinaras, Audrona Čaplinskaitė-Zelionkienė (g. 1963 m.) – ekonomistė, Donata Čaplinskaitė-Meiduvienė (g. 1970 m.) – buhalterė.

1966–1974 m. mokėsi Svėdasų (Anykščių r.) vidurinėje mokykloje, baigė 8 klases. 1974–1977 m. tęsė mokslą Ukmergės 16-ojoje technikos mokykloje, įgijo ir tekintojo specialybę.

1976–1977 m. mokydamasis A. Čaplinskas dirbo Ukmergės "Vienybės" gamykloje tekintoju.

1977–1982 m. su pertrauka jis toliau mokėsi Vilniaus politechnikume, įgijo techniko inžinieriaus specialybę. Pertraukęs mokslą, 1978–1980 m. jis atliko privalomąją karinę tarnybą sovietinėje kariuomenėje, tarnavo kariniame dalinyje Baltarusijoje.

1982–1984 m. A. Čaplinskas dirbo Ūkiskaitinių mokymo įmonių susivienijime "Praktika" gamybinio mokymo meistru, 1984–1985 m. buvo Utenos gamybinių įmonių kombinato Tiekimo skyriaus vadovas, 1985–1991 m. – Valstybinio draudimo inspekcijos darbuotojas.

A. Čaplinskas 1990 m. Utenoje įkūrė uždarąją akcinę bendrovę "Alauša" (prekyba degalais ir kitais naftos produktais, degalinių tinklas) ir nuo 1990 m. gruodžio iki šiol yra jos generalinis direktorius.

1994 m. bendrovė "Alauša" atidarė pirmąją savo degalinę Bajoruose šalia Svėdasų (Anykščių r.), įkūrė naftos bazę, kurioje buvo organizuota mažmeninė ir didmeninė prekyba šviesiais naftos produktais, 1998 m. prie naftos bazės atidarė ir tepalų fasavimo cechą.

Dabar įmonė turi daugiau kaip 20 degalinių tinklą visoje Lietuvoje: Vilniuje, Ukmergėje, Utenoje, Kairiuose (Šiaulių r.),  Bajoruose (Anykščių r.), Daugailiuose (Utenos r.) ir kitur. Prie kai kurių jo degalinių visą parą veikia kavinės ar automobilių plovyklos.

Nuo 2001 m. A. Čaplinskas yra Lietuvos verslininkų, prekiaujančių naftos produktais, sąjungos tarybos narys, 2008–2009 m. buvo ir šios tarybos pirmininkas.

Jis taip pat yra kooperatinės bendrovės "Tiltoilas" valdybos narys, Lietuvos verslininkų darbdavių konfederacijos Utenos miesto tarybos narys, uždarosios akcinės bendrovės "Hiperika sanum" (medicinos paslaugos, šeimos klinika) steigėjas ir akcininkas (nuo 2012 m.). 

A. Čaplinskas 1991–2011 m. verslo lėšomis rėmė Utenos rajono neįgaliųjų draugiją, Utenos policijos asociacijos renginius, Utenos kultūros centro ir kitų savivaldybės įstaigų organizuojamas šventes. Jo paramos sulaukė Utenos religinių bendruomenių ir Svėdasų krašto bendruomenės bei visuomeninių organizacijų iniciatyvos.

2012 m. A. Čaplinskas Utenoje įkūrė UAB "Alauša" paramos ir labdaros fondą, yra jo direktorius.

Jis yra Svėdasų krašto patriotinių iniciatyvų mecenatas. A. Čaplinskas fundavo Bajorų kaimo koplyčios restauraciją (2018 m.), Moliakalnio kaimo Lietuvos 100-mečio kryžiaus statybą (2018 m.). Jis finansavo naujų suolelių įrengimą Svėdasų bažnyčios šventoriuje (2023 m.).

Jo įkurtos įmonės "Alauša" pavadinimas tapo Valstybinės lietuvių kalbos inspekcijos organizuoto lietuviškų įmonių pavadinimų konkurso nugalėtoju tarp 1990–1991 m. įregistruotų ir tris dešimtmečius sėkmingai veikusių įmonių (2020 m.).

Už nuopelnus kuriant ir stiprinant Lietuvos karių rezervą A. Čaplinskas apdovanotas Lietuvos kariuomenės rezervo karių asociacijos Trijų Kalavijų Kryžiumi (2007 m.). Jis apdovanotas Pasaulio anykštėnų bendrijos medaliu (2022 m.), tapo Vaižganto mažosios premijos "Už nuopelnus Svėdasų kraštui" laureatu (2023 m.).

Laisvalaikiu mėgsta muziką, keliones ir pažintis, prižiūri sodybą.

Buvo vedęs, išsiskyrė.

Išsami A. Čaplinsko biografija pateikta Romualdo Vytauto Rimšos sudarytame rinkinyje "Svėdasai : praeitis ir dabartis : teminis straipsnių rinkinys. T. 1" (2012 m.).