1947–1954 m. baigė Andrioniškio septynmetę mokyklą.

1964–1975 m. B. Rimkus dirbo Troškūnų (Anykščių r.) profesinės technikos mokyklos gamybinio mokymo meistru.

1975–1982 m. jis buvo Anykščių rajono "Aukštakalnio" ir Surdegio kolūkių pirmininkų pavaduotojas.

B. Rimkus neakivaizdžiai studijavo Vilniaus aukštojoje partinėje mokykloje ir ją 1982 m. baigė.

1982–1985 m. jis dirbo Troškūnų 2-osios kaimo profesinės technikos mokyklos direktoriaus pavaduotoju mokomajam ir auklėjamajam darbui, 1985–1987 m. – Anykščių profesinės technikos mokyklos Troškūnų filialo vedėju.

1987–1990 m. B. Rimkus buvo Kupiškio profesinės technikos mokyklos statybos direkcijos direktorius. Jam vadovaujant Kupiškyje buvo pastatytas 450 vietų mokomasis pastatas, mokomosios-gamybinės dirbtuvės, du bendrabučiai po 200 vietų, 45 butų gyvenamasis namas, automobilių ir traktorių šildomi garažai, 60 vietų pastogė žemės ūkio technikai laikyti, autodromas, traktodromas, mašinų plovykla, įrengtas stadionas ir sporto aikštelės.

1990–2009 m. B. Rimkus buvo Kupiškio žemės ūkio mokyklos, po mokyklos pertvarkymo nuo 2001 m. – Kupiškio technologijos ir verslo mokyklos direktorius, kol išėjo į pensiją. 1991 m. jis įkūrė šios mokyklos mokomąjį žemdirbystės ūkį, o 1995–1996 m. įrengė ir mokomąją gyvulių fermą. Jo iniciatyva mokomojo komplekso teritorijoje buvo įveistas parkas ir sodas.

1998 m. jis neakivaizdžiai baigė studijas Vilniaus Gedimino technikos universitete, yra edukologijos magistras. B. Rimkui buvo suteikta antroji mokyklos vadovo kvalifikacinė kategorija.

B. Rimkus yra Tėvynės sąjungos – Lietuvos krikščionių demokratų narys.

Šios partijos sąraše jis dalyvavo Kupiškio rajono savivaldybės 2007–2011 m. kadencijos tarybos rinkimuose, 2008 m. užėmė likusią laisvą tarybos nario vietą ir 2008–2011 m. buvo šios Tarybos narys.

Tos pačios partijos sąraše jis buvo išrinktas Kupiškio rajono savivaldybės 2011–2015 m. kadencijos tarybos nariu, buvo šios Tarybos Kontrolės komiteto pirmininkas, Kultūros, švietimo, sporto ir teisėsaugos komiteto narys.

2015 m. jis dalyvavo Kupiškio rajono savivaldybės 2015–2019 m. kadencijos tarybos rinkimuose kaip tos pačios partijos kandidatas, bet į Tarybą nepateko.

Jis buvo Kupiškio rajono savivaldybės korupcijos prevencijos komisijos narys, Kupiškio rajono savivaldybės strateginio planavimo komisijos narys, Kupiškio rajono plėtros iki 2020 metų strateginio plano priežiūros komisijos narys.

Laisvalaikiu domisi gamta, gyvūnija, medicina, psichologija, naujausiais mokslo pasiekimais, politika, fotografija, kolekcionavimu.

Buvo vedęs, žmona Palmyra Lalytė-Rimkienė – medikė. Išsiskyrė.