Tėvai: Stasys Brilinga (1907–1971) iš Gečionių ir Elena Paulavičiūtė-Brilingienė (1926–1991). Augo trijų vaikų šeimoje, buvo vidurinysis. Sesuo Genovaitė Brilingaitė-Bumblauskienė (g. 1946 m.) – matematikė, valstybės tarnautoja, brolis Audrius Brilingas (1963–1990).

Giminaičiai: proprosenelio Andriaus Opanskio brolis Dominykas Opanskis (1836–?) – laisvės gynėjas, vienas iš 1863 m. sukilimo vadų, senelės Onos Opanskytės-Paulavičienės brolis Juozas Opanskis (1896–1927) – kariškis, revoliucionierius, jos brolio Jono duktė Aldona Apanskaitė-Karkauskienė (g. 1931 m.) – pedagogė ir kraštotyrininkė.

1955–1959 m. baigė Ivonių (Anykščių r.) pradinę mokyklą, 1959–1966 m. – Debeikių (Anykščių r.) vidurinę mokyklą. 1966–1971 m. studijavo Vilniaus universiteto Gamtos mokslų fakultete, įgijo inžinieriaus hidrogeologo išsilavinimą.

1971–1998 m., iki gyvenimo pabaigos, A. Brilingas dirbo Inžinerinių tyrinėjimų institute Vilniuje.

1971–1978 m. jis buvo inžinierius geologas, 1978–1994 m. – šio instituto vyriausiasis inžinierius, 1994–1998 m. – instituto bazėje įkurtos akcinės bendrovės "Inžineriniai tyrinėjimai" technikos direktorius.

1988 m. A. Brilingas parengė ir apsigynė disertaciją "Dielektriniai ir akustiniai reiškiniai žemos simetrijos stibio ir bismuto sulfodruskose", buvo geologijos ir mineralogijos mokslų kandidatas, 1993 m. nostrifikuotas fizinių mokslų, geologijos daktaras.

Jo mokslinių darbų sritis buvo inžinerinių geologinių tyrinėjimų metodologija, specialiųjų grunto tyrimų organizavimas.

A. Brilingas buvo Lietuvos geotechnikos, Tarptautinės inžinerinės geologijos asociacijos Lietuvos nacionalinės grupės narys, dalyvavo Lietuvos geologų sąjungos veikloje.

Susituokė 1970 m. rugsėjį, žmona Irena Kuzmickaitė-Brilingienė (g. 1948 m.) iš Karklynų (Alytaus r.) – inžinierė hidrogeologė. Dukterys: Loreta Brilingaitė-Brilingienė (g. 1972 m.) – pedagogė lietuvių kalbos ir literatūros mokytoja ir Agnė Brilingaitė-Bukauskienė (g. 1979 m.) – mokslininkė matematikė informatikė.

Mirė 1998 m. gruodžio 6 d. Vilniuje. Palaidotas Vilniaus Sudervės kapinėse (35 sektorius). Kapą ženklina pilkai rausvo šlifuoto akmens paminklinė kompozicija – tarp dviejų pasvirusių stelų įterptas akmeninis rutulys, dešiniojoje steloje iškaltas įrašas: "Albertas / Brilingas / 1948.10.19–1998.12.06".

A. Brilingo gyvenimas ir veikla pristatomi Aldonos Karkauskienės genealoginės kraštotyros rinkinyje "Gimtinė : mirę kaimai ir žmonių likimai : Apanskų giminės istorija" (2014 m.).