Tėvas Juozas Stackevičius.

1954–1962 m. mokėsi Troškūnų (Anykščių r.) vidurinėje mokykloje, 1962–1966 m. tęsė mokslą Kauno miškų technikume, įgijo miško techniko specialybę. Nuo 1966 m. neakivaizdžiai studijavo Vilniaus universiteto Ekonomikos fakultete, vėliau Maskvos (Rusija) miškų ūkio mokslinio tyrimo institute, įgijo aukštąjį išsilavinimą.

1966–1968 m. A. Stackevičius dirbo Anykščių miškų ūkyje Dabužių girininko padėjėju, 1968-1969 m. buvo Anykščių miškų ūkio inžinierius ekonomistas, 1969 m. – Anykščių miškų ūkio Troškūnų girininko padėjėjas, Anykščių miškų ūkio normuotojas.

Nuo 1969 m. A. Stackevičius gyvena ir dirba Vilniuje.

1969–1971 m. jis buvo Lietuvos miškų ūkio ir miško pramonės ministerijos Darbo mokslinio organizavimo ir ekonominių tyrimų laboratorijos Ekonominių tyrimų skyriaus vyresnysis inžinierius. 1971–1974 m. jis dirbo Lietuvos miškų ūkio mokslinio tyrimo institute jaunesniuoju moksliniu bendradarbiu, 1974–1978 m. – Lietuvos mokslų akademijos Verkių parko vyriausiuoju inžinieriumi.

1978–1979 m. A. Stackevičius buvo susivienijimo "Medis" vyresnysis inžinierius, 1979–1991 m. – Miestų statybos projektavimo instituto grupės vadovas.

1991–1993 m. jis dirbo Vilniaus miesto valdybos Aplinkos apsaugos skyriaus vyriausiuoju inžinieriumi.

1993–1995 m. A. Stackevičius buvo Vilniaus miesto valstybinės želdynų įmonės Vingio parko girininkas, 1995–2000 m. – specialios paskirties želdynų akcinės bendrovės "Vilniaus zunda" Vingio parko girininkas.

2000–2007 m. A. Stackevičius buvo Vilniaus miesto savivaldybės Miesto plėtros departamento Aplinkos apsaugos skyriaus vyriausiasis specialistas, atsakingas už Vilniaus miesto želdynus ir paviršinius vandens telkinius. 2007–2011 m. jis dirbo to paties departamento Aplinkos kokybės kontrolės poskyrio vyriausiuoju specialistu.

Nuo 2011 m. jis yra viešosios įstaigos "Žalioji Vilnija" valdybos narys. Jis yra Visuomeninės aplinkosauginio švietimo projektų įgyvendinimo tikrinimo komisijos narys (nuo 2012 m.).

A. Stackevičius yra Lietuvos gamtos draugijos narys, jos valdybos narys (nuo 2001 m.), buvo Lietuvos valstiečių liaudininkų sąjungos narys.

Jis yra Vilniaus anykštėnų sambūrio narys, vienas iš šio Sambūrio veiklos organizatorių.

Miško botanikos dėstytojo Jono Gelaževičiaus (1921–1992) paskatintas, jis kolekcionuoja pašto ženklus, atvirukus ir monetas gamtos tematika. Banknotų ir monetų rinkinį arklio tema A. Stackevičius 2007 m. perdavė Arklio muziejui Niūronyse, jis eksponuojamas nuolatinėje muziejaus parodoje.

A. Stackevičiaus pasiektas rekordas yra užfiksuotas Lietuvos rekordų knygoje. 1995 m. jis užaugino didžiausią Lietuvos ridiką (veislė "Juodieji apvalūs žieminiai", 4,32 kg svorio, 80 cm apimties, 31 ir 19,5 cm skersmens, 16 cm aukščio nuo šaknies iki lapkočio).

Vedęs, žmona Elicija Kazėnaitė-Stackevičienė (g. 1949 m.) – mokslininkė biologė.