Tėvai Juozapas (1863–1945) ir ? Motiejūnai. Turėjo brolį ir seserį, gyvenusius Lietuvoje ir po 1969 m.

Mokėsi Panevėžio realinėje gimnazijoje, kuri Pirmojo pasaulinio karo metais buvo evakuota į Rusiją, ten ją baigė 1916 m. 1916–1918 m. studijavo Dorpato (dabar – Tartu, Estija) veterinarijos institute.

1918 m. kovo 19 d. grįžęs į Lietuvą, Viešintų valsčiuje J. Motiejūnas kartu su bendraminčiais organizavo vietos savivaldą.

1919 m. gegužės 19 d. J. Motiejūnas Ukmergės karo komendantūroje įstojo savanoriu į kuriamą Lietuvos kariuomenę, buvo paskirtas į 1-ąjį artilerijos pulką. 1919 m. liepos 31 d. jis buvo pasiųstas į Karo mokyklą Kaune ir 1919 m. gruodžio 16 d. ją baigė 2-ojoje absolventų laidoje artilerijos leitenanto kariniu laipsniu.

Paskirtas 1919 m. pabaigoje, jis toliau tarnavo 1-ojo artilerijos pulko 3-osios baterijos jaunesniuoju karininku, nuo 1920 m. rugsėjo iki 1921 m. balandžio dalyvavo Nepriklausomybės kovose su lenkais. 1921 m. balandžio 12 d. jis buvo paskirtas Artilerijos brigados adjutantu.

Tarnybos metu 1921 m. rugsėjį J. Motiejūnas su Krašto apsaugos ministerijos stipendija buvo komandiruotas į Tartu universitetą tęsti veterinarijos studijas ir studijavo iki 1923 m. vasaros.

Paskirtas 1923 m. birželio 1 d., pusmetį jis tarnavo 2-ajame artilerijos pulke jaunesniuoju veterinarijos gydytoju. 1923 m. gruodžio 31 d. jis buvo perkeltas į Karo veterinarijos ligoninę, nuo 1924 m. sausio 1 d. ten tarnavo veterinarijos vyresniuoju leitenantu.

Baigęs studijas Tartu universiteto Veterinarijos fakultete, 1924 m. kovo 29 d. jis gavo veterinarijos gydytojo diplomą.

Nuo 1925 m. gegužės 15 d. jis buvo kapitonas, kol 1926 m. rugsėjo 9 d. savo iniciatyva išėjo į veterinarijos karininkų atsargą.

Demobilizuotas 1926–1927 m. jis dirbo Biržų apskrities veterinarijos gydytoju.

1927–1928 m. jis tęsė studijas Berne (Šveicarija), apsigynė disertaciją ir 1928 m. gavo veterinarijos medicinos daktaro mokslinį laipsnį.

Paskirtas 1928 m. lapkričio 25 d., 1928–1934 m. jis buvo Gruzdžių (Šiaulių r.) aukštesniosios gyvulininkystės mokyklos dėstytojas. 1934–1939 m. jis dirbo Marijampolės apskrities veterinarijos gydytoju.

1936–1944 m. J. Motiejūnas buvo Kauno veterinarijos akademijos dėstytojas, docentas. 1939 m. jis įkūrė Veterinarijos akademijos Bujatrikos ir akušerijos kliniką.

Paskirtas 1940 m. rugsėjo 15 d., 1940–1941 m. jis dirbo ir Veterinarijos akademijos prorektoriumi, 1941–1944 m. buvo šios akademijos rektorius, nuo 1942 m. – ekstraordinarinis profesorius.

Veterinarijos srityje jis stažavosi Hanoveryje (Vokietija).

1926–1940 m. J. Motiejūnas dalyvavo Lietuvos šaulių sąjungos veikloje, eidamas įvairias pareigas.

1944 m. J. Motiejūnas su šeima pasitraukė į Vakarus, 1944–1948 m. gyveno Mosdorfe (Moosdorf, Austrija) ir dirbo veterinarijos gydytoju.

1948 m. spalį jis emigravo į JAV ir ten liko iki gyvenimo pabaigos. Iš pradžių jis gyveno Voterberyje (Waterbury, Konektikuto valstija) ir dirbo fizinį darbą fabrikuose.

Nuo 1954 m. persikėlęs į Čikagą (Ilinojaus valstija), J. Motiejūnas dirbo Federalinės valdžios mėsos priežiūros inspektoriumi, kol baigė profesinę veiklą.

Jis aktyviai dalyvavo Lietuvių bendruomenės veikloje, būdamas jos narys. Jis buvo Savanorių kūrėjų sąjungos narys, Amerikos lietuvių profesorių sąjungos narys ir Amerikos lietuvių veterinarijos gydytojų tremtyje sąjungos narys, ilgametis šios sąjungos pirmininkas nuo 1948 m. Jo rūpesčiu 1955 m. buvo pasiektas Lietuvos veterinarijos akademijos 1936–1944 m. absolventų išsilavinimo pripažinimas JAV.

J. Motiejūnas parašė ir išleido knygas: "Ipologijos vadovėlis" (su P. Babicku, 1930 m.), "Naminių gyvulių akušerija" (1931 m.), "Naminių gyvulių gydymas" (su Juozu Žemaičiu, 1932 m.), "Akušerijos vadovėlis" (1943 m.). Jis taip pat bendradarbiavo spaudoje, paskelbė straipsnių veterinarijos klausimais.

Nepriklausomoje Lietuvoje J. Motiejūnas buvo apdovanotas Didžiojo Lietuvos kunigaikščio Gedimino 4-ojo laipsnio ordinu (1935 m.) ir Savanorio-kūrėjo medaliu (1939 m.).

Buvo vedęs, žmona Anelė Snarskytė-Motiejūnienė (1899–1970). Dukterys: Aldona Motiejūnaitė-Rasutienė (1922–2013) ir Danutė Stanislava Motiejūnaitė-Jarienė (1925–2015).

Mirė 1969 m. liepos 11 d. Hailande (Highland, Indianos valstija, JAV). Palaidotas Lietuvių tautinėse kapinėse Džastise (Justice, Ilinojaus valstija, JAV). Kapą ženklina akmeninis paminklas-stela su iškaltu įrašu: "Prof. vet. dr. / Motiejūnas", postamente horizontaliai iškalti įrašai: "Anelė / 1899–1970" ir "Juozas / 1896–1969".

J. Motiejūno gyvenimas ir veikla pristatoma enciklopedinio žinyno "Lietuvos kariuomenės karininkai : 1918–1953" 5-ajame tome (2005 m.), žinyne "Veterinarija Lietuvoje : šimto metų istorija : 1918–2018" (2018 m.).