Tėvai: Julijonas Valiukonis (1869–?) ir Marijona Sargautaitė-Valiukonienė (1871–?) iš Vidugirių – valstiečiai žemdirbiai. Brolis ir sesuo: Pranciškus Valiukonis (1902–?), Elena Valiukonytė (1904–?).

1900 m. sausio 20 d. Andrioniškio bažnyčioje jį pakrikštijo šios bažnyčios kuratas Jonas Baltušis.

1917–1921 m. baigė Kupiškio progimnaziją. 1921–1925 m. mokėsi Panevėžio mokytojų seminarijoje, ją baigė 1-ojoje laidoje ir įgijo pedagoginį išsilavinimą.

1925–1944 m. J. Valiukonis gyveno ir dirbo Zarasuose.

1925–1928 m. jis buvo Zarasų vidurinės mokyklos ir mokytojų kursų mokytojas, 1928–1937 m. dirbo Zarasų aukštesniojoje komercijos mokykloje mokytoju, 1930–1935 m. buvo šios mokyklos vicedirektorius.

1938–1940 m. J. Valiukonis buvo Zarasų miesto burmistras, 1939–1940 m. taip pat dirbo savaitraščio "Zarasų kraštas" redaktoriumi. Sovietinės okupacijos laikotarpiu 1940–1941 m. jis išvengė tremties, pabėgęs į Panevėžį, paskui kiek laiko dirbo mokytoju Šeduvoje (Radviliškio r.).

Prasidėjus karui, J. Valiukonis grįžo į Zarasus ir 1941–1944 m. vėl buvo Zarasų miesto burmistras, taip pat dirbo mokytoju Zarasų gimnazijoje.

J. Valiukonis buvo Lietuvos šaulių sąjungos narys nuo pat jos įkūrimo 1919 m. Zarasuose 1926 m. atgaivinęs šaulių veiklą, jis buvo išrinktas Šaulių sąjungos Zarasų rinktinės tarybos nariu ir vadu, buvo šios rinktinės švietimo vadovas, taip pat vadovavo Vilniui vaduoti sąjungos Zarasų skyriui. 1927 m. kartu su kitais Zarasų inteligentais jis įsteigė Lietuvos tautininkų sąjungos Zarasų skyrių.

Jis įsteigė Zarasuose Turizmo draugiją ir jai vadovavo, nuo 1929 m. buvo "Naujosios Lietuvos" ratelio pirmininkas, organizavo kultūrinę veiklą. 1928 m. Zarasuose susikūrus Lietuvos skautams remti draugijos skyriui, J. Valiukonis tapo jo nariu ir buvo išrinktas į šios skyriaus valdybą, buvo vienas iš aktyvesnių skautybės rėmėjų. Jis dirbo ir Zarasų krašto bei parapijos Atlietuvinimo komitete, buvo Lietuvių ir latvių vienybės draugijos pirmininkas.

Jis aktyviai talkino, statant Zarasuose Šaulių namus, rūpinosi švietėjo Domininko Bukonto paminklo statyba.

Nepriklausomoje Lietuvoje J. Valiukonis buvo apdovanotas Lietuvos Didžiojo kunigaikščio Gedimino II laipsnio medaliu (1937 m.), Nepriklausomybės 10-mečio medaliu (1928 m.), Latvijos šaulių organizacijos Nuopelnų kryžiumi (Aizsargu Nopelnu krusts, 1939 m.).

1944 m. J. Valiukonis su šeima pasitraukė į Vakarus, dirbo mokytoju Dillingeno (Vokietija) lietuvių gimnazijoje, buvo šios lietuvių pabėgėlių stovyklos komiteto pirmininkas ir kiek laiko švietimo vadovas.

1949 m. jis persikėlė į JAV, gyveno Bostone (Masačusetso valstija) ir dirbo įvairų fizinį darbą, laisvą laiką skirdamas visuomeninei veiklai lietuvių išeivių bendruomenėje.

J. Valiukonis kelerius metus buvo JAV Lietuvių bendruomenės Lorenso (Lawrence, Masačusetso valstija) apylinkės pirmininkas ir Amerikos lietuvių Romos katalikų federacijos skyriaus pirmininkas. Jis vaidino Bostono (Masačusetso valstija) lietuvių dramos sambūryje.

J. Valiukonis buvo vienas iš JAV zarasiečių 2-ojo suvažiavimo Brukline (Brooklyn, Niujorko valstija, 1961 m.) organizatorių ir jo dalyvis.

Buvo vedęs, žmona Elena Valiukonienė-Valiukonis (1914–1992). Sūnus Jurgis Valiukonis.

Mirė 1986 m. rugpjūčio 15 d. Bostone (Masačusetso valstija, JAV). Palaidotas Bostono Forest Hillo kapinėse.