Seneliai: Steponas Galvydis (1839–1898) ir Barbora Semėnaitė-Galvydienė (apie 1841 – po 1904), Antanas Braknys (1834 – po 1903) ir Marijona Rimkutė-Rimkevičiūtė-Braknienė (apie 1843 – 1903). Tėvai: Antanas Galvydis (apie 1875 – 1948) iš Svėdasų ir Barbora Braknytė-Galvydienė (apie 1882 – 1947)  iš Sliepšiškio – žemdirbiai ūkininkai, turėjo 32 hektarus prastos žemės ant Alaušo ežero kranto, dėl kurios tėvas buvo ištremtas ir mirė tremtyje. Augo penkių vaikų šeimoje. Sesuo Marijona Galvydytė (1907–1993) – brolio kunigo S. Galvydžio šeimininkė, broliai: Antanas Galvydis (1909–1991) – amatininkas, tremtinys, Steponas Galvydis (1916–1999) – kunigas, švietėjas, literatas, Jonas Galvydis (1920–2000) – elektrikas, technikos darbų mokytojas. Dar penki šeimos vaikai mirė vaikystėje:  Juozapas Galvydis (1903–?), Domicelė Galvydytė (1905–?), Pranciška Galvydytė (1912–?), Felicija Galvydytė (1915–?) ir Teofilis Galvydis (1918–?). 

Dėdė (motinos brolis) Antanas Braknys-Braknė (1883–1972) – kunigas.

1922 mm. liepos 23 d. Svėdasų bažnyčioje Vytauto vardu jį pakrikštijo vikaras Ignotas Ragauskas, krikštatėviais buvo Bronius Laurelis ir Zofija Milčiukaitė.

Baigė Anykščių progimnaziją, iki 1940 m. mokėsi Utenos gimnazijoje. Mokydamasis V. Galvydis aktyviai dalyvavo ateitininkų veikloje. Pirmosios sovietinės okupacijos metu 1940 m. jis dalyvavo rezistencinėje kovoje, todėl bolševikų buvo įkalintas Utenos kalėjime ir ten kalėjo iki karo pradžios 1941 m. birželį, kol buvo išlaisvintas. Savo išgyvenimus kalėjime jis vėliau aprašė atsiminimuose "Laisvė – ab divina providentia".

Po vokiečių okupacijos 1941 m. V. Galvydis įsijungė į tautinį judėjimą, buvo įstojęs savanoriu į vokiečių darbo tarnybą, dirbo Riugeno saloje, bet nusivylęs vokiečių požiūriu į kitataučius grįžo į Lietuvą.

1942–1944 m. jis studijavo Vilniaus universiteto Matematikos ir gamtos fakultete mediciną, Kauno Vytauto Didžiojo universiteto Teologijos-filosofijos fakultete teologiją.

1944 m. pasitraukęs į Vakarus, V. Galvydis tęsė studijas Tiubingeno (Vokietija) universitete. Tuo pačiu metu jis veikė Lietuvos aktyvistų fronto ir Lietuvių fronto gretose, rūpinosi Lietuvos aktyvistų fronto žurnalo "Į laisvę" atgaivinimu, M. Vilties partizaninės poezijos leidyba.

Apie 1949 m. išvykęs į JAV, V. Galvydis toliau studijavo Čikagos (Ilinojaus valstija) Loyolos universitete, o 1963 m. baigė Čikagos technikos kolegiją, įgijo kelių statybos inžinieriaus išsilavinimą.

Gyvendamas Čikagoje, jis iki mirties dirbo inžinieriumi bei papildomai vertėsi nekilnojamojo turto verslu, turėjo viešbutį. Tuo pačiu metu jis ėjo įvairias pareigas Čikagos lietuvių bendruomenės apylinkių valdybose, dirbo komisijose, kartu su kitais organizavo tautinį vaikų ansamblį, kūrė tėvų komitetus.

1965–1967 m. V. Galvydis buvo JAV ir Kanados Lietuvių fronto bičiulių centro valdybos pirmininkas. Jis taip pat buvo Vyriausiojo Lietuvos išlaisvinimo komiteto narys, 1966–1967 m. buvo jo Seimo narys.

Buvo vedęs, žmona Ona Lemešytė-Galvydienė (1916–2018) iš Švenčionių – JAV lietuvių visuomenininkė. Užaugino keturis vaikus. Sūnūs Povilas Galvydis – biologas, valstybės tarnautojas, ir Jurgis Galvydis (1951–2008), dukterys Kristina Galvydytė-McGann ir Lidija Galvydytė-Ringienė – kultūros organizatorė, visuomenininkė.

Mirė 1971 m. liepos 30 d. Čikagoje (Ilinojaus valstija, JAV). Palaidotas Čikagos Šv. Kazimiero lietuvių kapinėse šeimos kape.