Tėvai: Povilas Beržinis (g. 1927 m.) ir Janina Beržinienė (g. 1926 m.) – mokytojai.

1976 m. baigė Užvenčio (Kelmės r.) vidurinę mokyklą.

1977 m. G. Beržinis trumpai dirbo Užvenčio kooperatyve sąskaitybos mokiniu, 1977–1979 m. buvo Kelmės rajono komjaunimo komiteto instruktorius.

1979–1981 m. G. Beržinis atliko privalomąją karinę tarnybą sovietinėje kariuomenėje. Grįžęs jis dirbo kolūkio pirmininko pavaduotoju, vėliau – kultūros namų direktoriumi.

1992 m. jis baigė studijas Klaipėdos konservatorijoje, įgijo kultūros vadybininko išsilavinimą.

1992–1996 m. G. Beržinis dirbo Lietuvos televizijos Šiaulių skyriuje, buvo inžinierius, vėliau režisierius.

G. Beržinio iniciatyva 1996 m. buvo įkurta Šiaulių televizija, nuo 1998 m. jis yra jo paties įkurtos telekompanijos "Brydė" steigėjas ir prezidentas.

2006–2018 m. jis dirbo Šiaulių apskrities televizijoje, buvo prodiuseris, Programų skyriaus redaktorius, kūrė autorines televizijos ir radijo laidas. Kiekvieną mėnesį jis kūrė laidą pakruojiečiams "Gyvenimas šalia Kruojos", laidą radviliškiečiams "Radviliškis šiandien ir rytoj", reklamines, saugaus eismo populiarinimo laidas. Jis buvo Šiauliuose rengiamo "Nuostabiausių kojų" konkurso idėjos autorius ir organizatorius.

Nuo 2003 m. jis taip pat dirbo Šiaulių Simono Daukanto vidurinėje mokykloje bei Šiaulių moksleivių namuose, vadovavo jaunųjų žurnalistų būreliui. Nuo 2012 m. jis užsiima ir individualia kūrybine ir menine veikla. 

Nuo 2015 m. G. Beržinis-Beržinskas dirba Šiaulių universiteto gimnazijoje, nuo 2018 m. yra ir Saulėtekio gimnazijos vyresnysis mokytojas.

Jis yra Krikščionių sąjungos narys, šios Sąjungos valdybos narys ir Šiaulių miesto skyriaus pirmininkas.

2015–2019 m. ir nuo 2019 m. jis yra Šiaulių miesto savivaldybės tarybos narys, frakcijos "Dirbame miestui" narys. Jis yra Šiaulių miesto jaunimo reikalų tarybos narys.

2020 m. G. Beržinis-Beržinskas dalyvavo Lietuvos Respublikos Seimo (2020–2024 m.) rinkimuose Aušros apygardoje kaip Krikščionių sąjungos kandidatas, bet nebuvo išrinktas. Šiuose rinkimuose jis dalyvavo ir kaip Krikščionių sąjungos sąrašo kandidatas, bet šis sąrašas į Seimą nepateko.

Nuo 1990 m. jis yra Lietuvos kino mėgėjų sąjungos narys, nuo 1996 m. – Lietuvos žurnalistų sąjungos narys. G. Beržinis buvo vienas iš Lietuvos kultūros fondo Šiaulių skyriaus atkūrimo iniciatorių. Nuo 1999 m. jis yra menininkų asociacijos "Tiltai" steigėjas, nuo 2015 m. – asociacijos "Kūrybinės jungtys" narys,  

1999–2003 m. G. Beržinis dalyvavo įvairiose teminėse, grupinėse fotografijos ir vaizduojamojo meno parodose Lietuvoje ir užsienyje. 2013 m. Šiauliuose jis surengė pirmąją personalinę tapybos parodą.

G. Beržinis apdovanotas Lietuvos kino mėgėjų sąjungos diplomais už geriausią garsą filme "Popiežius" (1995 m.) ir už geriausią dokumentinį filmą "Popiežius" (1995 m.). Baltijos neprofesionalaus kino filmų festivalyje jis gavo medalį už filmą "Popiežiaus belaukiant" (1995 m.), Vilniaus televizijos diplomą už geriausią mėgėjišką dokumentinį filmą (1995 m.), Taline (Estija) vykusiame festivalyje – diplomą už filmą "Ąsotis" (1997 m.), pasauliniame UNICA kino festivalyje – diplomą už filmą "Lietuva 1967–1997" (1997 m.). Jis apdovanotas Lietuvos savivaldybių asociacijos, Lietuvos žurnalistų sąjungos ir Nacionalinės žurnalistų kūrėjų asociacijos Jono Vileišio premijos, skiriamos žurnalistams, informuojantiems apie savivaldą, trečiojo laipsnio diplomu (2008 m.) už Šiaulių televizijos laidą "Radviliškis šiandien ir rytoj".

Jis yra Užvenčio (Kelmės r.) vidurinės mokyklos Garbės galerijos narys.

Laisvalaikiu žvejoja, plaukioja, klausosi muzikos, tapo, dalyvauja dailės pleneruose.

Vedęs, žmona Virginija Ginkevičiūtė-Beržinienė-Beržinskienė. Duktė Laima Beržinytė-Gulbinienė (g. 1985 m.) – vadybininkė.