Tėvai: Jaroslavas Markuckas (1928–2008) – pedagogas, vadovas, ir Bronislava Markuckienė (g. 1931 m.) – medikė. Brolis Valdas Markuckas (g. 1959 m.) – gydytojas.

Tėvams persikėlus, nuo 1958 m. augo Troškūnuose (Anykščių r.), 1962–1973 m. baigė Troškūnų  vidurinę mokyklą aukso medaliu. 1973–1978 m. studijavo Vilniaus universiteto Chemijos fakultete, įgijo chemiko dėstytojo išsilavinimą.

Nuo 1978 m. iki šiol A. Markuckas gyvena Vilniuje ir dirba Vilniaus universiteto Gamtos mokslų fakultete, nuo 2016 m. – Gyvybės mokslų centre.

1978–1979 m. jis buvo jaunesnysis mokslinis bendradarbis, 1979–1993 m. – asistentas, 1993–2001 m. – vyresnysis asistentas, 2001–2009 m. – lektorius.

Nuo 2009 m. A. Markuckas yra Biochemijos ir biofizikos katedros docentas, nuo 2013 m., pertvarkius katedrą, – Biochemijos ir molekulinės biologijos katedros docentas, Molekulinės biologijos grupės mokslo darbuotojas.

Jis dėsto biochemijos, fermentinių reakcijų mechanizmų, amiloidozių molekulinių mechanizmų ir neurodegeneracinių ligų kursus, dalyvauja Lietuvos studentų gamtininkų mokslinės draugijos veikloje kaip ekspertas vertintojas.

A. Markucko mokslinių tyrimų sritys: enzimologija, fermentinė katalizė, baltymų gryninimas, ekotoksikologija, amiloidozės, fermentinių reakcijų kinetika ir mechanizmai.

1993 m. Vilniaus universitete jis parengė ir apsigynė disertaciją "Bakteriofago T4 RNR-ligazė: adenilil-RNR-ligazės struktūros tyrimas", yra biomedicinos mokslų, biologijos daktaras.

A. Markuckas parengė ir išleido monografiją "Gamtiniai kovalentiniai mononukleotidų ir baltymų kompleksai: paplitimas, struktūra ir reikšmė" (rusų kalba, kartu su Benediktu Juodka, 1995 m.), mokymo priemones: "Biochemijos laboratoriniai darbai" (su grupe autorių, 2006 m.), "Fermentinės katalizės pagrindai" (2008 m.). Jis yra Visuotinės lietuvių enciklopedijos mokslinių straipsnių biochemijos tematika autorius.

Laisvalaikiu žvejoja, grybauja, mėgsta dirbti sode.

Vedęs, žmona Silvestra Paldavičiūtė-Markuckienė (g. 1964 m.) – psichologė. Duktė Giedrė Markuckaitė (g. 1988 m.) – psichologė.