Tėvas – dvarininkas, valstybės tarnautojas.

Nuo 1866 m. augo Mintaujoje  (dabar – Jelgava, Latvija), kur dirbo tėvas, tik vasaromis leido laiką tėviškėje. 1873–1877 m. mokėsi Mintaujos Dannenburgo pradžios mokykloje, 1877–1885 m. baigė Mintaujos klasikinę vokišką gimnaziją. Nuo 1885 m. studijavo Kauno Žemaičių kunigų seminarijoje, buvo išsiųstas tęsti studijas į Romos Gregorianumo universitetą, bet dėl pablogėjusios sveikatos turėjo jų atsisakyti ir persikėlė į Liucerną (Šveicarija). 1886–1888 m. baigė dvimetį filosofijos kursą Liucernos licėjuje ir buvo priimtas į Liucernos Tomo Akviniečio akademiją, bet grįžo į Kauną ir 1888–1890 m. baigė Žemaičių kunigų seminariją. Studijų metais priklausė Lietuvos mylėtojų draugijai. 1890–1891 m. jis tęsė studijas Sankt Peterburgo (Rusija) dvasinėje akademijoje, paskui išlaikė dviejų kursų egzaminus ir ją baigė.

1892 m. liepos 5 d. J. Narkevičius buvo įšventintas kunigu.

1892–1893 m. jis tarnavo Raudondvario (Kauno r.) parapijoje vikaru, 1893–1895 m. buvo Veiviržėnų (Klaipėdos r.) parapijos vikaras, 1895–1897 m. – Alšvango (dabar – Alsunga, Kuldingos r., Latvija) vikaras.

1897–1900 m. jis buvo Tryškių (Telšių r.) parapijos altarista.

Visose parapijose J. Narkevičius platino draudžiamą lietuvišką spaudą, mokė vaikus lietuviškai ir kitaip skleidė kaimuose lietuvybę. Už tai carinės Rusijos valdžios jis ne kartą buvo baustas piniginėmis baudomis, uždarytas į Kretingos vienuolyną.

1900–1905 m. J. Narkevičius gyveno Raguvėlėje (Anykščių r.) ir buvo Raguvėlės Šv. Stepono bažnyčios kuratas, Raguvos parapijos kunigas filialistas.

Po 1905 m. jis įsijungė į lietuvių draugijų veiklą, šelpė jas pinigais, bendradarbiavo spaudoje. Jono Basanavičiaus vadovaujamai Mokslo draugijai J. Narkevičius perdavė 200 tomų vertingų knygų ir 50 monetų.

1905 m. rudenį pakeistas vietomis su kunigu Juozapu Liubšiu, 1905–1910 m. jis buvo Kulvos (Jonavos r.) Švč. Mergelės Marijos bažnyčios filialistas, 1910–1913 m. – Šventybrasčio (Kėdainių r.) Kristaus Atsimainymo bažnyčios kuratas, Apytalaukio parapiijos kunigas filialistas, 1913–1916 m. – Pievėnų (Mažeikių r.) Nukryžiuotojo Jėzaus bažnyčios kuratas, kunigas filialistas.

Prasidėjus Pirmajam pasauliniam karui, 1916–1922 m. J. Narkevičius buvo pasitraukęs į Rytus, tarnavo dvasininku Staroje Rusoje, Aleksandrovske ir Taganroge (Rusija), kur aktyviai dalyvavo, šelpiant lietuvius karo pabėgėlius. Jis rėmė į Taganrogą iš Mintaujos perkeltą lietuvių gimnaziją, skatino į Rusiją pasitraukusius lietuvius katalikus saugoti tikėjimą.

Grįžęs į Lietuvą, 1922 m. jis buvo paskirtas Mikoliškių (Kretingos r.) Šv. Juozapo bažnyčios kuratu, 1924–1927 m. tarnavo Skuode, kur 1924–1927 m. buvo ir Skuodo vidurinės mokyklos vokiečių kalbos mokytojas. Persikėlęs 1927 m. rugpjūtį, 1927–1929 m., iki gyvenimo pabaigos, jis praleido Sedoje (Mažeikių r.).

Nuo 1928 m. sausio 1 d. kanauninko Juozo Tumo-Vaižganto rūpesčiu jam buvo paskirta 200 litų valstybinė pensija kaip tautinės sąmonės žadintojui.

J. Narkevičius visą gyvenimą ypač domėjosi knygomis, buvo sukaupęs kelias bibliotekas, garsėjo kaip neturtingųjų rėmėjas.

Mirė 1929 m. gruodžio 3 d. Sedoje (Mažeikių r.). Palaidotas Grūstės (Mažeikių r.) kapinėse. Kapą ženklina įbetonuota horizontali akmens plokštė su iškaltu įrašu "A+A / Čia ilsisi kunigas / Julius Narkevičius / gm. 1865.XII.3. + 1929.XII.3 / Viešpatie! / Gyvendamas Žemėje / turėjau viltį / Tavyje".