Tėvai: Alfonsas Molevičius (1930–2013) ir Elena Molevičienė (1930–1998).

1982 m. baigė Vilniaus universiteto Ekonomikos fakultetą, įgijo buhalterio išsilavinimą.

Nuo 1982 m. iki gyvenimo pabaigos A. Molevičius gyveno ir dirbo Ukmergėje.

1982–1983 m. jis buvo Ukmergės buitinio gyventojų aptarnavimo kombinato vyriausiasis buhalteris.

1983–1988 m., iki gyvenimo pabaigos, jis dirbo Ukmergės vaikų ir jaunių sporto mokykloje šachmatų treneriu. Jis pirmasis šiame mieste subūrė pavienius Ukmergės šachmatininkus, įkūrė šachmatų mokyklą ir išpopuliarino šią sporto šaką Ukmergėje. Jis treniravo apie 200 jaunųjų šachmatininkų.

A. Molevičiaus pastangų dėka Ukmergės šachmatininkai tuo metu pradėjo žaisti Lietuvos aukščiausiojoje lygoje tarp didmiesčių komandų, Ukmergės mergaičių jaunučių komanda tapo Lietuvos čempionėmis (1988 m.), Ukmergės vaikai šachmatininkai šalyje iškovojo antrąją komandinę vietą.

A. Molevičius išugdė tris kandidatus į sporto meistrus, daug pirmojo ir žemesnių atskyrių sportininkų.

Mirė 1988 m. lapkričio 24 d. Ukmergėje. Palaidotas Ukmergės miesto Dukstynos kapinėse (12 kvartalas, 301 kapavietė). Kapą ženklina pilko šlifuoto akmens paminklas-stela su iškaltu portretiniu atvaizdu ir įtaisyta portretine moters nuotrauka bei iškaltu įrašu: "Antanas Molevičius / 1958–1988 / Elena / 1930–1998 / Alfonsas / 1930–2013 / Gyvendamas ėjai vien / Erškėčių taku / Ir mirt tau reikėjo / Visai nelaiku".

A. Molevičiaus atminimui nuo 1989 m. kasmet Ukmergės sporto mokykloje buvo organizuojamos tarpmokyklinės komandinės ir asmeninės moksleivių ir suaugusiųjų šachmatų varžybos, ilgainiui išaugusios į respublikinį greitųjų šachmatų turnyrą, kuriame dalyvaudavo visos Lietuvos šachmatininkai (2011 m. sulaukta 170 dalyvių). Surengus 25 tokius turnyrus, nuo 2013 m. rudens tradicija buvo užbaigta.