Tėvai: Antanas Alkauskas (g. 1944 m.) – agronomas, savivaldos organizatorius, ir Vida Alkauskienė (g. 1947 m.) – agronomė. Brolis dvynys Giedrius Alkauskas (g. 1978 m.) – mokslininkas matematikas.

1985–1993 m. mokėsi Anykščių Jono Biliūno vidurinėje mokykloje, 1993–1996 m. baigė Kauno technologijos universiteto gimnaziją. 1996 m. šioje gimnazijoje A. Alkauskas buvo išrinktas Vasario 16-osios premijos, skiriamos geriausiam gimnazistui, laureatu. 1995 ir 1996 m. jis tapo Lietuvos moksleivių fizikos olimpiadų nugalėtoju, 1996 m. apdovanotas pagyrimo raštu tarptautinėje moksleivių fizikos olimpiadoje Osle (Norvegija). Dukart jis tapo Lietuvos jaunųjų filologų konkurso laureatu.

1996–2002 m. jis studijavo Vilniaus universiteto Fizikos fakultete, įgijo fizikos bakalauro ir magistro išsilavinimą, dalį studijų kurso išklausė Kopenhagos (Danija) universitete. Studijuodamas dainavo Vilniaus universiteto studentų chore, rašė apsakymus.

2002–2006 m. A. Alkauskas buvo Bazelio (Šveicarija) universiteto Fizikos instituto doktorantas.  2006 m. Bazelio universitete jis apgynė mokslų daktaro disertaciją "Energy level alignment and site-selective adsorption of large organic molecules on noble metal surfaces" (anglų kalba, "Stambių organinių molekulių selektyvioji adsorbcija ir jų elektroninių lygmenų išsidėstymas ant tauriųjų metalų paviršių").

2006–2010 m. jis gyveno ir dirbo Lozanoje (Lausanne, Šveicarija), beveik penkerius metus buvo Lozanos Federalinės politechnikos mokyklos (EPFL) mokslo darbuotojas. Jis dirbo mokslinį darbą Teorinės fizikos ir Kietojo kūno fizikos institutuose.

2011–2014 m. A. Alkauskas buvo Kalifornijos universiteto Santa Barbaroje (Kalifornijos valstija, JAV) mokslo darbuotojas.

Nuo 2014 m. jis gyveno ir dirbo Vilniuje. 2014–2016 m. jis buvo Valstybinio mokslinių tyrimų instituto Fizinių ir technologijos mokslų centro Optoelektronikos skyriaus Terahercinės fotonikos laboratorijos vyresnysis mokslo darbuotojas. Nuo 2016 m. jis buvo vyriausiasis mokslo darbuotojas, vadovavo elektroninės struktūros teoretikų mokslinei grupei "Puntukas", buvo Fundamentinių tyrimų skyriaus Elektroninės struktūros teorijos laboratorijos vadovas.

Nuo 2015 m. jis buvo Kauno technologijos universiteto Matematikos ir gamtos mokslų fakulteto dėstytojas, Fizikos katedros profesorius, dėstė kietojo kūno fizikos kursą.

A. Alkausko mokslinės veiklos sritys: medžiagų mokslas; paviršių, interfeisų ir defektų fizika; tankio funkcionalo teorija; kietojo kūno fizika; atsinaujinančių energijos šaltinių fizika; kietojo kūno teorinė spektroskopija.

Jis skaitė pranešimus tarptautinėse mokslinėse konferencijose, kartu su bendraautoriais parengė ir paskelbė daugiau kaip 40 publikacijų tarptautinėje mokslinėje spaudoje, tarp jų – ir mokslines publikacijas fizikos žurnale "Physical Review Letters".

Nuo 2011 m. A. Alkauskas buvo Amerikos fizikos draugijos (American Physical Society) narys.

Gyvendamas Šveicarijoje, A. Alkauskas buvo Šveicarijos lietuvių bendruomenės valdybos narys, prancūziškosios Šveicarijos dalies veiklos koordinatorius ir kultūros renginių organizatorius. Jis buvo laikraščio "Šveicarijos lietuvių žinios" bendradarbis, parengė studiją apie rašytojo Jono Biliūno gyvenimo ir veiklos pėdsakus Šveicarijoje apybraižų rinkiniui lietuvių ir vokiečių kalbomis "Lietuvių rašytojų takais Šveicarijoje. Auf den Spuren litauischer Schriftsteller in der Schweiz" (Šveicarijos lietuvių bendruomenės leidinys, 2009 m.).

Jis su komanda buvo nominuotas LRT 2020-ųjų metų apdovanojimuose "Metų atradimo" nominacijoje už pasaulinį mokslinį atradimą – kvantinių emiterių prigimties nustatymą dvimačiuose puslaidininkiuose (2020 m.).

Laisvalaikiu domėjosi populiaria ir klasikine muzika, komponavo roko muziką, domėjosi literatūra, grožine kūryba, filosofija, mėgo kalnų turizmą ir sportą. Mokėjo anglų, rusų, prancūzų ir vokiečių kalbas.

Mirė 2023 m. gegužės 14 d. Vilniuje. Palaidotas Anykščių naujosiose kapinėse. Kapą ženklina medinis kryžius su įrašu lentelėje: "Audrius / Alkauskas / 1978–2023".