Tėvai: Boleslovas Vladas Kašponis (1891–1973) – pedagogas, vargonininkas ir chorvedys, ir Marijona Kubilinskaitė-Kašponienė (1901–1996) – pedagogė pradinių klasių mokytoja. Užaugo trijų vaikų šeimoje su dviem broliais. Jaunesnieji broliai Česlovas Algimantas Kašponis (1935–2004) – inžinierius hidrotechnikas ir Kazimieras Jaunius Kašponis (1937–2000) – ekonomistas. Vyresnysis brolis Raimondas Kašponis (1931–1931) mirė kūdikystėje.

Iki 1944 m. augo ir mokėsi Surdegyje. Tėvams persikėlus, 1944–1951 m. baigė Kupiškio vidurinę mokyklą. Mokykliniais metais susižavėjo muzika, vadovavo mokytojų ir moksleivių kameriniam orkestrui, smuiku ir saksofonu grojo įvairiuose ansambliuose. 1951–1956 m. studijavo Vilniaus universitete ekonomiką ir tuo pačiu metu mokėsi Juozo Tallat-Kelpšos muzikos mokykloje kompozicijos P. Tamuliūno klasėje. Universitete jis suorganizavo studentų kamerinį orkestrą.

1956–1959 m. R. Kašponis gyveno Ukmergėje, 1956 m. įkūrė Ukmergės vaikų muzikos mokyklą ir 1956–1959 m. buvo pirmasis jos direktorius. Kiek laiko jis vadovavo vaikų chorui ir kaimo mišriajam chorui.

1957–1962 m. jis studijavo Lietuvos konservatorijoje choro dirigavimą docento Antano Budriūno klasėje, studijas baigė su pagyrimu ir įgijo chorvedžio išsilavinimą.

Nuo 1959 m. iki senatvės R. Kašponis gyveno Vilniuje. Nuo 1959 m. jis dirbo Vilniaus vaikų muzikos mokyklos, J. Tallat-Kelpšos muzikos mokyklos, paskui M. K. Čiurlionio vidurinės meno mokyklos teorinių disciplinų dėstytoju, buvo šios meno mokyklos muzikos teorijos metodinės komisijos pirmininkas.

1965–2007 m. R. Kašponis buvo ir Lietuvos konservatorijos, Lietuvos muzikos ir teatro akademijos Choro dirigavimo katedros dėstytojas. 1966–1984 m. jis buvo vyresnysis dėstytojas, 1984–1992 m. – docentas.

1968 m. jis stažavosi Budapešto (Vengrija) F. Liszto aukštojoje muzikos mokykloje pas profesorius E. Sioni ir I. Parkoi, dalyvavo tarptautiniame choro dirigentų seminare Berlyne. 1980–1981 m. jis kėlė kvalifikaciją Maskvos (Rusija) valstybinėje P. Čaikovskio konservatorijoje prof. A. Chazanovo choro dirigavimo klasėje.

1981 m. Lietuvos konservatorijoje K. R. Kašponis parengė ir apsigynė menotyros mokslų kandidato disertaciją "Lietuvių tarybinė chorinė muzika a cappelia (vaizdų pasaulis ir nacionalinės specifikos klausimai)", 1993 m. nostrifikuotas humanitarinių mokslų, menotyros daktaras.

1992–2007 m. jis buvo Lietuvos muzikos ir teatro akademijos profesorius, išugdęs 12 choro dirigentų, tarp jų – Petrą Bingelį.

Jis buvo 1964 m. I respublikinės moksleivių dainų šventės konsultantas, chorų apžiūrų ir konkursų žiuri narys, respublikinių mokslinių-metodinių tarybų muzikos mokymo komisijos narys, kultūros mokyklų valstybinių egzaminų komisijų pirmininkas, disertacijų gynimo komiteto pirmininkas, oficialusis oponentas, Lietuvos muzikos ir teatro akademijos mokslo vardų teikimo komisijos ekspertas. Iki gyvenimo pabaigos jis buvo Lietuvos mokslininkų sąjungos Tarpdisciplininės muzikologijos grupės pirmininkas.

K. R. Kašponis parašė monografiją "Lietuvių muzikos melodika ir harmonija" (1992 m.) – vieną pirmųjų Lietuvoje menotyros studiją, paremtą statistiniais tyrimo metodais. Panaudojęs lyginamąjį ir tikimybinį-statistinį tyrimo metodus, jis nustatė kai kurias melodikos ir lietuvių kalbos dėsningumų analogijas.

Jis parašė ir išleido mokymo ir metodinius leidinius: "Harmonijos pagrindai" (1965 m.), "Sofedžio" (1969 m., kiti leidimai – 1975, 1986, 1996, 1998 m.), "Choro pratybos" (kartu su P. Tamuliūnu, 1973 m.), "Harmonija" (I dalis – 1984 m., II dalis – 1988 m.), istorinę apybraižą "Lietuvos muzikos akademija" (1994 m.).

Jis paskelbė straipsnių ir chorų koncertų recenzijų periodikoje, sukūrė vokalinių kūrinių chorams.

Nuo 2001 m. iki gyvenimo pabaigos K. R. Kašponis buvo žymiausias Lietuvoje Algirdo Juliaus Greimo paveldo saugotojas ir populiarintojas, vienas iš šio semiotikos mokslo pradininko 90-mečio minėjimo Lietuvoje ir Europoje organizatorių. 2004 m. jis parengė A. J. Greimo vaikystę Anykščių ir Kupiškio krašte pristatančią dokumentinę studiją-parodą, kuri buvo eksponuota Lietuvoje, Suomijoje, Prancūzijoje ir dar keliose Europos valstybėse. Jis išleido knygą "Greimas arti ir toli : Greimas close and far" (lietuvių ir anglų kalbomis, 2014 m.).

Nuo 2007 m. iki gyvenimo pabaigos K. R. Kašponis gyveno Prienų globos namuose, kur tęsė mokslinę ir visuomeninę veiklą. Jo iniciatyva Prienuose buvo įamžintas A. J. Greimo atminimas: atidengta atminimo lenta prie namo, kuriame gyveno mokslininkas, miesto tiltui suteiktas Greimų vardas.

Mirė 2018 m. balandžio 7 d. Prienuose. Palaidotas Surdegio (Anykščių r.) kapinėse šeimos kape prie tėvų.

Lietuvos literatūros ir meno archyve saugomas Karolio Rimtauto Kašponio dokumentų asmeninis fondas (F. 583).