Tėvas Alfonsas Stasiukonis.

Vaikystėje ir paauglystėje dirbo šeimos ūkyje, mokėsi vietos mokyklose.

1944 m. J. Stasiukonis buvo mobilizuotas į karinę tarnybą sovietinėje kariuomenėje, buvo ruošiamas Antrojo pasaulinio karo frontui, bet pakeliui į jį baigėsi karas. Demobilizuotas 1947 m. jis grįžo į gimtinę, toliau dirbo šeimos ūkyje.

1949 m. prasidėjus kolektyvizacijai, 1949–1950 m. jis dirbo "Naujo gyvenimo", 1950–1953 m. – "Naujo kelio", 1953–1957 m. – Georgijaus Malenkovo, 1957–1959 m. – "Žalgirio" kolūkyje (Varkujai) sandėlininku, brigadininku, agronomu, 1953–1954 m. buvo Malenkovo kolūkio pirmininkas.

Nuo 1959 m. birželio iki gyvenimo pabaigos J. Stasiukonis gyveno Kirmėliuose (Anykščių r.).

1959–1963 m. jis dirbo "Pirmyn į komunizmą" kolūkio pirmininko pavaduotoju.

1963–1989 m. J. Stasiukonis buvo "Pirmyn į komunizmą" kolūkio, o pakeitus jo pavadinimą 1989–1992 m.  – Nausodės kolūkio pirmininkas. Jo iniciatyva buvo suformuota optimalaus dydžio kolektyvinio ūkio gamybinė ir socialinė infrastruktūra, o ūkis išsaugotas nuo stambinimo ar kitokių neracionalių sprendimų.

Jis neakivaizdžiai mokėsi Joniškėlio (Pasvalio r.) tarybiniame ūkyje-technikume, kur 1981 m. įgijo agronomo specialybę.

Iširus kolūkiui, 1992–1993 m. J. Stasiukonis dirbo Nausodės žemės ūkio bendrovės pirmininku, kol dėl pablogėjusios sveikatos išėjo į pensiją.

J. Stasiukonis pasižymėjo kaip reiklus, sumanus ir pareigingas vadovas. Jo vadovaujama žemės ūkio įmonė Anykščių rajone išsiskyrė aukštais gamybos rodikliais ir palankiomis žmonių darbo sąlygomis. Kolūkis, jo pertvarkytas į žemės ūkio bendrovę, yra vienintelė tokia žemės ūkio struktūra rajone, išlikusi ir sėkmingai veikianti iki šiol.

Jam buvo suteiktas Lietuvos SSR nusipelniusio žemės ūkio darbuotojo garbės vardas (1983 m.), jis buvo apdovanotas Lietuvos SSR žemės ūkio pirmūno ženkleliu (1968 m.), medaliu "Už darbo šaunumą" (1976 m.).

Laisvalaikiu medžiodavo ir žvejodavo.

Buvo vedęs, žmona Nijolė Rimavičiūtė-Stasiukonienė (g. 1936 m.) iš Žaliosios – buhalterė. Vaikai: Dalius Stasiukonis (g. 1955 m.) – inžinierius kelininkas, vadovas, ir Rita Stasiukonytė-Žemaitienė (g. 1958 m.) – prekybininkė.

Mirė 2012 m. kovo 4 d. Kirmėliuose (Anykščių r.). Palaidotas Svėdasų (Anykščių r.) kapinėse.