Tėvai: Juozas Repečka (1877–?) iš Padvarninkų – žemdirbys ūkininkas, emigrantas JAV, ir Uršulė Platkevičiūtė-Repečkienė (1881–1967) iš Pilviškių – žemdirbė. Augo keturių vaikų šeimoje, buvo vyriausias. Seserys: Apolonija Repečkaitė (1903–1976) – žemdirbė ir Konstancija Repečkaitė-Rukšienė (1904–1966) – žemdirbė, brolis Juozas Repečka (1905–1974) – žemdirbys ūkininkas.

1901 m. lapkričio 19 d. Kurklių bažnyčioje jį pakrikštijo klebonas Tomas Paltarokas, krikštatėviais buvo Jonas Repečka ir Cecilija Češūnaitė.

Tėvui XX a. antrajame dešimtmetyje išvykus į JAV ir nebegrįžus, K. Repečka užaugo su motina Ragolčiznoje (Anykščių r.), anksti perėmė vyriškuosius šeimos ūkio darbus. Jis niekur nesimokė, buvo beraštis. 

1922 m. spalio 27 d. K. Repečka iš Ragolčiznos buvo pašauktas į tarnybą Lietuvos kariuomenėje ir paskirtas į Alytuje dislokuotą 11-ąjį pėstininkų Vilniaus pulką (vadas – kapitonas Jonas Jackus), nuo lapkričio 8 d. buvo šio pulko 4-osios kuopos eilinis, o nuo gruodžio 22 d. pervestas į mokomąją kuopą. 11-asis pėstininkų pulkas tuo metu stovėjo lenkų fronte, saugodamas bendrą Seinų krypties barą.

K. Repečka nuo 1923 m. kovo 22 d. dalyvavo pusiau slaptoje Varviškės (Lazdijų r.) karinėje ekspedicijoje, kurios metu apie 300 lietuvių karių ir šaulių įžengė į neutralioje Lietuvos-Lenkijos pasienio zonoje buvusį Varviškės kaimą ir jį išlaisvino nuo ten įsikūrusio ir gyventojus terorizavusio lenkų partizanų būrio.

Mirė 1923 m. kovo 23 d. prie Sventijansko kaimo (Lazdijų r.) – buvo nušautas Varviškės mūšyje kartu su dviem tose kautynėse žuvusiais karininkais ir kitais trim kareiviais bei dar trim jiems talkinusiais civiliais šauliais. Buvo palaidotas netoli žūties vietos Varviškėje bendrame septynių žuvusiųjų kape. 1923 m. birželio 13 d. visi žuvusiųjų palaikai buvo perkelti į Leipalingio (Druskininkų sav.) kapines, kur birželio 14 d. perlaidotas bendrame žuvusių kareivių kape.

Žuvusiojo K. Repečkos motinai U. Repečkienei Lietuvos Respublikos valdžia skyrė 10 hektarų žemės ir kas mėnesį mokėjo 50 litų pensiją. 1930 m. ji kreipėsi su prašymu pripažinti K. Repečką savanoriu-kūrėju, tačiau jos prašymą 1932 m. gegužės 28 d. komisija atmetė, nes žuvęs jos sūnus netarnavo Lietuvos kariuomenėje 1919–1920 m.

Nepriklausomos Lietuvos metais Leipalingio šaulių namuose buvo įrengtos atminimo lentos Varviškės mūšyje žuvusiems pagerbti, vienoje iš jų buvo įrašyta ir K. Repečkos pavardė.

Žuvusiųjų artimųjų iniciatyva ant kapo Leipalingio kapinėse pastatytas paminklas – metalinis kryžius ant akmenų mūro piramidės formos postamento, kuriame juodo marmuro lentoje iškalta: "ŽUVĘ KOVOJE UŽ LIETUVOS / LAISVĘ 1923 m. KOVO 23 d. VARVIŠKĖJE / ŠAULIAI: FELIKSAS IR VIKTORAS / KUCKAILIAI, JUOZAS KVEDARAVIČIUS, / 11-OJO PĖSTININKŲ VILNIAUS PUL- / KO KARIAI: LTN. ALEKSANDRAS URBELIS, / EILINIAI: MIKAS GIEDRA, JONAS / GRABAUSKAS, JUOZAS RAVEIKIS, / KOSTAS REPEČKA." (meistrai Arūnas Kuliešius ir Artūras Kuckailis, 2011 m.).