Tėvai – žemdirbiai stambūs ūkininkai. Brolis Algimantas Vincas Kajackas (1932–2015) – kunigas kanauninkas, teologas, teologijos pedagogas, kultūros mecenatas.

Augo Trakėnuose (Kalvarijos sav.), baigė Trakėnų pradinę mokyklą, 4 klases Kalvarijos progimnazijoje. 1948 m. baigė Kapsuko (dabar – Marijampolė) žemės ūkio technikumą, įgijo zootechniko specialybę. Nuo jaunystės jis domėjosi fotografija, Antrojo pasaulinio karo metais darė nuotraukas, naudodamas stiklo negatyvus, skaitė knygas apie fotografiją.

1948–1949 m. J. Kajackas dirbo Kalvarijos rajono žemės ūkio skyriuje arklininkystės zootechniku.

Nuo 1949 m. iki gyvenimo pabaigos jis gyveno ir dirbo Anykščiuose.

1949–1959 m. jis dirbo Anykščių inkubatorinėje paukštininkystės stotyje direktoriumi, kol stotis buvo uždaryta, ruošiant vietą poilsio namams statyti. Jis buvo pirmasis ir vienintelis šios įmonės vadovas, kūrė jos materialinę bazę, 1950 m. pavasarį pradėjo perinti ir realizuoti kolūkiams pirmuosius vienadienius viščiukus ir ančiukus. 1949–1950 m. jis organizavo pirmosios Anykščiuose šiluminės elektrinės, skirtos šiai peryklai aptarnauti, statybą.

1959–1960 m. keturis mėnesius jis dirbo Anykščių tarpūkinėje gyvulių sėklinimo stotyje.

Savarankiškai išmokęs taisyti laikrodžius, 1960–1974 m. J. Kajackas dirbo Anykščių buitinio gyventojų aptarnavimo kombinate meistru laikrodininku.

1974–1981 m. jis buvo Anykščių buitinio gyventojų aptarnavimo kombinato fotoateljė vedėjas, meistras fotografas, vienas pirmųjų Anykščių fotoateljė darbuotojų, kol išėjo į pensiją, bet ir toliau fotografavo. Jis būdavo kviečiamas oficialiai fotografuoti į Anykščių rajoną atvykstančius sovietinės valdžios svečius, apie 1976 m. Andrioniškyje fotografavo ten viešėjusį Justą Paleckį. Jis fiksavo fotojuostoje kultūros įvykius: Anykščių dainų šventes, liaudies teatro spektaklius.

Senatvėje J. Kajackas buvo pirmasis Anykščių fotografas, ėmęsis privataus fotografo verslo ir tradicinėmis priemonėmis dirbęs iki gilios senatvės.

Nuo jaunystės J. Kajackas buvo dramos mėgėjas. 1946–1949 m. jis vaidino Marijampolės teatro pastatymuose pas šio teatro meno vadovą režisierių Kazį Tumkevičių ir režisierių Borisą Dauguvietį. Anykščiuose nuo 7-ojo dešimtmečio jis buvo Liaudies teatro pastatymų dalyvis, vaidino Broniaus Zabielos ir kitų režisierių kurtuose spektakliuose, labiausiai mėgo komedijinius vaidmenis: Sukčiaus Augustino Griciaus komedijoje "Buvo buvo, kaip nebuvo" ir kitus. Po B. Zabielos mirties 1970 m. J. Kajackas buvo vienas iš kelių entuziastų, kurie dar dešimtmetį įstengė išsaugoti liaudies teatro vardą, kasmet pateikdami naujų spektaklių premjeras.

J. Kajackas buvo ir Anykščių kultūros rūmų pučiamųjų orkestro muzikantas.

Buvo vedęs, žmona Elena Miliauskaitė-Kajackienė (1924–2009). Liko našlys. Duktė Romualda Kajackaitė-? (g. 1951 m.).

Mirė 2010 m. Anykščiuose. Palaidotas Anykščių naujosiose kapinėse šeimos kape šalia žmonos. Kapą ženklina akmeninis paminklas – simetriška šlifuoto akmens plokščių kompozicija su kryžiumi ir įrašais atskirose plokštėse: "Kajackienė / Elena 1924–2009" ir "Kajackas / Jonas 1920–2010".