Tėvai: Antanas Navickas (1896–1958) – valstybės pareigūnas, darbininkas, ir Marijona Paurytė-Navickienė iš Zarasų. Augo keturių vaikų šeimoje, buvo vyriausias. Broliai: Viktoras Navickas (1938–2010) – šaltkalvis ir Dionizas Navickas (1939–2003) – elektrikas, sesuo Ona Navickaitė-Vitkevičienė-Stupelienė (g. 1944 m.) – maisto pramonės technologė. Dukterėčia (sesers duktė) Rita Vitkevičiūtė-Urniežienė (g. 1969 m.) – kultūros organizatorė ir chorvedė.

1931 m. vasario 24 d. Anykščių bažnyčioje Leono Ignoto vardais jį pakrikštijo vikaras Jonas Bubas.

1939–1943 m. baigė Kiškelių (Anykščių r.) pradžios mokyklą, toliau nebesimokė. Tėvams persikėlus, nuo 1945 m. augo Anykščiuose. 1947–1951 m. mokėsi Anykščių gimnazijoje, per metus įveikdamas po dvi klases, taip pusiau eksternu 1951 m. baigė Anykščių vidurinę mokyklą. Mokydamasis lankė jaunųjų literatų būrelį, kurio vadovas buvo rašytojas Antanas Žukauskas-Vienuolis. Nenorėdamas tapti našta tėvams, pasirinko valstybės visiškai išlaikomą karinio profilio mokslą ir 1951–1954 m. mokėsi Kijevo karinės medicinos mokykloje, įgijo felčerio-farmacininko specialybę.

1954–1959 m. L. Navickas su kariniu paskyrimu dirbo Pabradės (Švenčionių r.) karinės vaistinės vedėju. Norėdamas greičiau pasitraukti į civilinį gyvenimą, savo iniciatyva pasirinko tarnybos vietą atšiauresnėmis  sąlygomis ir 1959–1960 m. dirbo Sachalino (Tolimieji Rytai, Rusija) karinėje vaistinėje, kol buvo demobilizuotas, turėdamas kapitono laipsnį.

Grįžęs į Lietuvą, 1960–1966 m. L. Navickas dirbo Vyriausiosios farmacijos valdybos Kadrų skyriaus vyresniuoju inspekktoriumi, vakarais dirbo vaistinėse.

1960–1966 m. jis neakivaizdžiai studijavo Kauno medicinos instituto Farmacijos fakultete ir įgijo farmacininko išsilavinimą bei provizoriaus diplomą.

1966–1970 m. L. Navickas buvo Respublikinės kurortų valdymo tarybos pirmininko pavaduotojas eksploatacijos klausimams. Jis rūpinosi fizioterapijos gydyklų statyba ir įrengimu Druskininkuose ir Palangoje, sanatorijų plėtimu ir naujos įrangos komplektavimu.

1970 m. jis grįžo į Vyriausiąją farmacijos valdybą ir 1970–1989 m. dirbo jos viršininko pavaduotoju, kol valdyba buvo reorganizuota.

L. Navickas beveik du dešimtmečius buvo atsakingas už farmacijos įstaigų tinklo plėtimą Lietuvoje, naujų vaistinių ir vaistų sandėlių statybas. Jam vadovaujant, šalyje buvo pastatyta apie 130 naujų vaistinių, daugiau kaip 100 – mažuose miesteliuose bendrose patalpose su ambulatorijomis, numatant butus gydytojams ir vaistinės vedėjui.

Ypač daug dėmesio jis skyrė Anykščių vaistinės statybai, siekdamas, kad ji būtų patogi ligoniams ir vaistininkams, žavėtų patraukliu ir originaliu interjeru. Jo iniciatyva vaistinės interjeras buvo papuoštas profesionaliu meno kūriniu, liudijančiu A. Žukausko-Vienuolio vaistinės istoriją.

Jo rūpesčiu buvo rekonstruotas senasis Vilniaus vaistų sandėlis Trakų gatvėje, kuriame nuo 1989 m. įsikūrė Respublikinis gamybinis susivienijimas "Farmacija". L. Navickas inicijavo originalių baldų gamybą vaistinėms, įrengė specialų cechą.

Jo rūpesčiu Vilniaus senamiestyje, restauravus apleistus ir sugriūvusius Bžostovskių rūmus, XX a. 9-ajame dešimtmetyje buvo įrengta senovinė veikianti vaistinė. 1989–1996 m., iki gyvenimo pabaigos, L. Navickas dirbo tos "Universiteto" vaistinės vedėju.

Susituokė 1955 m. Pabradėje, žmona Polina Vasiljeva-Navickienė (1934–1992) – medicinos technikė. Liko našlys. Šeimoje užaugo dvi dukterys: Žaneta Navickaitė-Gold (g. 1956 m.) – inžinierė matematikė, valstybės tarnautoja, ir Rima Navickaitė-Losinskaja (g. 1963 m.) – vaistininkė, valstybės tarnautoja.

Mirė 1996 m. spalio 5 d. Vilniuje. Palaidotas Pabradės (Švenčionių r.) kapinėse šeimos kape.

L. Navicko gyvenimas ir veikla pristatyta Reginos Stonkutės-Žukienės ir Anatolijaus Kostiukevičiaus sudarytame žinyne "Žymiausi Lietuvos farmacininkai" (leidinio "Lietuvos farmacija" I tomas, 1998 m.) bei R. Stonkutės-Žukienės monografijoje "Lietuvos farmacija XX amžiuje" (leidinio "Lietuvos farmacija" III tomas, 2005 m.).