1958–1969 m. mokėsi Tauragės 2-ojoje vidurinėje mokykloje. 1969–1975 m. studijavo Vilniaus universitete.

1975–1981 m. R. Kliminskas dirbo Panevėžio 4-osios vidurinės mokyklos mokytoju, 1981–1983 m. – direktoriaus pavaduotoju ugdymui. 1983–1991 m. jis buvo Panevėžio specialiosios internatinės mokyklos direktorius, 1991–1993 m. – Panevėžio 6-osios vidurinės mokyklos direktorius, 1993–1995 m. – Panevėžio miesto savivaldybės Švietimo skyriaus vedėjo pavaduotojas.

1995–2008 m. R. Kliminskas buvo Panevėžio apskrities viršininko administracijos Švietimo skyriaus, 2009–2010 m. – Socialinių reikalų ir švietimo skyriaus vedėjas.

2001–2003 m. jis tęsė studijas Kauno technologijos universiteto Socialinių mokslų fakultete, nuo 2003 m. – šio universiteto doktorantūroje.

2009 m. Kauno technologijos universitete jis parengė ir apsigynė daktaro disertaciją tema "Konstruktyvistinis požiūris į mokyklos lygmens Curriculum realizavimo sąlygas", yra socialinių mokslų, edukologijos daktaras.

Nuo 2010 m. R. Kliminskas yra Panevėžio kolegijos dėstytojas, buvo Pedagogikos katedros docentas, dabar yra Medicinos ir socialinių mokslų fakulteto docentas, auditorius kokybei. Nuo 2014 m. jis yra Panevėžio kolegijos direktoriaus pavaduotojas studijoms, Panevėžio kolegijos tarybos narys ir Akademinės tarybos narys.

Jis yra Panevėžio kolegijos periodinio leidinio "Taikomieji tyrimai studijose ir praktikoje" redakcinės kolegijos pirmininkas.

R. Kliminskas buvo PHARE/TACIS Baltijos mažųjų projektų programos "Andragogikos pagrindai ir suaugusiųjų mokymo centrų veiklos plėtotė dešimtyje Lietuvos apskričių" (1999 m.), Šiaurės ir Baltijos šalių projekto "Mokykla visiems" (2000–2004 m.) koordinatorius. Jis yra Panevėžio kolegijos steigiamosios tarybos narys.

Jis stažavosi Londone (Didžioji Britanija) pagal Europos Komisijos ARION programą (1997 m.), dalyvavo tęstinėje stažuotės programoje "Inkliuzinis specialiųjų poreikių vaikų ugdymas Švedijoje ir Danijoje" (2001–2002 m.) ir pagal ES SOCRATES studentų mainų programą ERASMUS Lundo (Švedija) universitete (2005 m.).

Jam suteiktos vyresniojo  mokytojo, vadybos eksperto kvalifikacinės kategorijos. Jo mokslinių interesų kryptis – suaugusiųjų ugdymas, bendrosios kompetencijos ir jų plėtojimas, švietimo vadyba, specialiųjų poreikių vaikų integracija.

R. Kliminskas yra Lietuvos suaugusiųjų švietimo asociacijos, ekologinio ugdymo bendrijos "Žalioji gija" narys.

Laisvalaikį skiria knygoms, kelionėms, sodininkystei.

Vedęs, žmona Regina Kliminskienė (g. 1951 m.) – švietimo įstaigos vadovė. Sūnūs: Mantas Kliminskas (g. 1976 m.) – mokytojas, Darius Kliminskas (g. 1980 m.).