Gimimo vieta nustatyta pagal krikšto metrikų įrašą, kitų šaltinių duomenimis – Merečiškių arba Brazgių kaimai (Anykščių r.).

Tėvai: Adomas Kiaulevičius ir Viktorija Kazlauskaitė-Kiaulevičienė – Ukmergės miestiečiai.

1896 m. kovo 27 d. Kurklių bažnyčioje jį pakrikštijo vikaras Vincentas Mockus, krikštatėviais buvo Stanislovas Abruckis ir Anelė Kazlauskaitė.

1919 m. gegužės 22 d. S. Kiaulevičius savanoriu išėjo į Lietuvos kariuomenę, tarnavo 1-ajame pėstininkų Didžiojo Lietuvos kunigaikščio Gedimino pulke eiliniu, iš pradžių komendantūroje, paskui buvo perkeltas į 3-ąją kuopą. Jis dalyvavo kautynėse su bolševikais, bermontininkais ir lenkais.

S. Kiaulevičius pasižymėjo kovose 1919 m. rugpjūčio 24 d., kai ties Veriūgiškių kaimu (Zarasų r.) buvo išsiųstas parinkti tinkamas pozicijas savo kuopai ir pakliuvo į smarkią bolševikų ugnį, bet savo užduotį atliko. 1919 m. gruodį už narsius žygius bolševikų fronte jis buvo apdovanotas 1-ojo laipsnio Kryžiumi "Už Tėvynę" (Vyties Kryžiumi).

1921 m. lapkričio 1 d. jis buvo paleistas neribotų atostogų ir išbrauktas iš pulko sąrašų, tarnybą baigė eiliniu.

Grįžęs į gimtinę, S. Kiaulevičius gyveno Skačiūnų dvare (dabar – Virkščiai, Ukmergės r.).

1930 m. rugpjūčio 11 d. jam buvo pripažintas kūrėjo-savanorio statusas, šalia Vyties Kryžiaus jis buvo apdovanotas Savanorio medaliu (1930 m.).

Susituokė 1928 m. rugsėjo 30 d. Lyduokių (Ukmergės r.) bažnyčioje, žmona Uršulė Kapočiūtė-Kiaulevičienė.

Mirė (?). Palaidotas Kurklių (Anykščių r.) kapinėse.

Vyties Kryžiaus kavalieriaus Stasio Kiaulevičiaus gyvenimas ir žygdarbiai įamžinti Viliaus Kavaliausko enciklopediniame žinyne "Lietuvos karžygiai : Vyties Kryžiaus kavalieriai (1918–1940)" 3-ajame tome (2011 m.).

Didžiakaimio Lietuvos Nepriklausomybės kovų memoriale įrengtose atminimo lentose šalia kitų Kurklių valsčiaus savanorių ir Vyties Kryžiaus kavalierių akmenyje iškalta ir S. Kiaulevičiaus pavardė (2019 m.).